Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplitf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplitf 14655
 Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 14632 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitf.kph 𝑘𝜑
fprodsplitf.in (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fprodsplitf.un (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fprodsplitf.fi (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitf.c ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitf (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3527 . . . 4 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
2 nfcv 2761 . . . 4 𝑗𝑈
3 nfcv 2761 . . . 4 𝑘𝑈
4 nfcv 2761 . . . 4 𝑗𝐶
5 nfcsb1v 3534 . . . 4 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
61, 2, 3, 4, 5cbvprod 14581 . . 3 𝑘𝑈 𝐶 = ∏𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶
76a1i 11 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = ∏𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶)
8 fprodsplitf.in . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
9 fprodsplitf.un . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
10 fprodsplitf.fi . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
11 fprodsplitf.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
12 nfv 1840 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑈
1311, 12nfan 1825 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑈)
145nfel1 2775 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
1513, 14nfim 1822 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
16 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑈𝑗𝑈))
1716anbi2d 739 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑈) ↔ (𝜑𝑗𝑈)))
181eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1917, 18imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
20 fprodsplitf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
2115, 19, 20chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
228, 9, 10, 21fprodsplit 14632 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶 = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 · ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶))
234, 5, 1cbvprodi 14583 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶
244, 5, 1cbvprodi 14583 . . . . 5 𝑘𝐵 𝐶 = ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶
2523, 24oveq12i 6622 . . . 4 (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶) = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 · ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶)
2625eqcomi 2630 . . 3 (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 · ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶)
2726a1i 11 . 2 (𝜑 → (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 · ∏𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
287, 22, 273eqtrd 2659 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  Ⅎwnf 1705   ∈ wcel 1987  ⦋csb 3518   ∪ cun 3557   ∩ cin 3558  ∅c0 3896  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  ℂcc 9886   · cmul 9893  ∏cprod 14571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-prod 14572 This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  14656  fprodsplit1f  14657
 Copyright terms: Public domain W3C validator