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Theorem fpwwe2lem13 9656
Description: Lemma for fpwwe2 9657. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 [(𝑟 “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(𝑟 ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))}
fpwwe2.2 (𝜑𝐴 ∈ V)
fpwwe2.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥) ∧ 𝑟 We 𝑥)) → (𝑥𝐹𝑟) ∈ 𝐴)
fpwwe2.4 𝑋 = dom 𝑊
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem13 (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝑟,𝑥,𝐹   𝑋,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝐴,𝑟,𝑥   𝑊,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)

Proof of Theorem fpwwe2lem13
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun2 3920 . . . 4 {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
2 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 [(𝑟 “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(𝑟 ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))}
3 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ V)
43adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
5 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥) ∧ 𝑟 We 𝑥)) → (𝑥𝐹𝑟) ∈ 𝐴)
65adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥) ∧ 𝑟 We 𝑥)) → (𝑥𝐹𝑟) ∈ 𝐴)
7 fpwwe2.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = dom 𝑊
82, 4, 6, 7fpwwe2lem12 9655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ dom 𝑊)
92, 4, 6, 7fpwwe2lem11 9654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝑊:dom 𝑊⟶𝒫 (𝑋 × 𝑋))
10 ffun 6209 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊:dom 𝑊⟶𝒫 (𝑋 × 𝑋) → Fun 𝑊)
11 funfvbrb 6493 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑊 → (𝑋 ∈ dom 𝑊𝑋𝑊(𝑊𝑋)))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 ∈ dom 𝑊𝑋𝑊(𝑊𝑋)))
138, 12mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝑋𝑊(𝑊𝑋))
142, 4fpwwe2lem2 9646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋𝑊(𝑊𝑋) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ ((𝑊𝑋) We 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑋 [((𝑊𝑋) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹((𝑊𝑋) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))))
1513, 14mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑋𝐴 ∧ (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ ((𝑊𝑋) We 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑋 [((𝑊𝑋) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹((𝑊𝑋) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)))
1615simpld 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋𝐴 ∧ (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1716simpld 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝑋𝐴)
1816simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1915simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑊𝑋) We 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑋 [((𝑊𝑋) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹((𝑊𝑋) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))
2019simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑊𝑋) We 𝑋)
2117, 18, 203jca 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋𝐴 ∧ (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑊𝑋) We 𝑋))
222, 3, 5fpwwe2lem5 9648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴 ∧ (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑊𝑋) We 𝑋)) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝐴)
2321, 22syldan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝐴)
2423snssd 4485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ 𝐴)
2517, 24unssd 3932 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝐴)
26 ssun1 3919 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
27 xpss12 5281 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑋 × 𝑋) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
2826, 26, 27mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (𝑋 × 𝑋) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
2918, 28syl6ss 3756 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑊𝑋) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
30 xpss12 5281 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
3126, 1, 30mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
3329, 32unssd 3932 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
3425, 33jca 555 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝐴 ∧ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))))
35 ssdif0 4085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ↔ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅)
36 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
3718ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
3837ssbrd 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
39 brxp 5304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋))
4039simplbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
4138, 40syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋))
4236, 41mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
43 brxp 5304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
4443simplbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
4536, 44nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
46 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ V
47 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
48 brun 4855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
4947, 48syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋)))))
5049notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋)))))
5146, 50rexsn 4367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
52 ioran 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋))) ↔ (¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
5351, 52bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ (¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
5442, 45, 53sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ∃𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
55 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑥 ≠ ∅)
5655neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ 𝑥 = ∅)
57 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
58 sssn 4503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
5957, 58sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
6059ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (¬ 𝑥 = ∅ → 𝑥 = {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
6156, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑥 = {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
6261raleqdv 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
63 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
6463notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
6546, 64ralsn 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
6662, 65syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
6761, 66rexeqbidv 3292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
6854, 67mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
6968ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
7035, 69syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅ → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
71 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
72 difexg 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V)
7371, 72mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V)
74 wefr 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊𝑋) We 𝑋 → (𝑊𝑋) Fr 𝑋)
7520, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑊𝑋) Fr 𝑋)
7675ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → (𝑊𝑋) Fr 𝑋)
77 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
78 uncom 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∪ 𝑋)
7977, 78syl6sseq 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∪ 𝑋))
80 ssundif 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ⊆ ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∪ 𝑋) ↔ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝑋)
8179, 80sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝑋)
82 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅)
83 fri 5228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V ∧ (𝑊𝑋) Fr 𝑋) ∧ ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦)
8473, 76, 81, 82, 83syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦)
85 brun 4855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ (𝑧(𝑊𝑋)𝑦𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
86 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑧(𝑊𝑋)𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
87 brxp 5304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦 ↔ (𝑧𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
8887simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
89 eldifn 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
9089adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ¬ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
9190pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} → 𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
9288, 91syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
9386, 92jaod 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ((𝑧(𝑊𝑋)𝑦𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦) → 𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
9485, 93syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
9594con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
9695ralimdv 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
97 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
9897ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
9918ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
10099ssbrd 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 → (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)𝑦))
101 brxp 5304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)𝑦 ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋𝑦𝑋))
102101simplbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)𝑦 → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
103100, 102syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋))
10498, 103mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦)
105 brxp 5304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦 ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
106105simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
10790, 106nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦)
108 brun 4855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
10963, 108syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦)))
110109notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦)))
11146, 110ralsn 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
112 ioran 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦) ↔ (¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
113111, 112bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ (¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
114104, 107, 113sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
11596, 114jctird 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)))
116 ssun1 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
117 undif1 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = (𝑥 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
118116, 117sseqtr4i 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ⊆ ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
119 ralun 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
120 ssralv 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ⊆ ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (∀𝑧 ∈ ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 → ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
121118, 119, 120mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦) → ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
122115, 121syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
123 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑦𝑥)
124123adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → 𝑦𝑥)
125122, 124jctild 567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → (𝑦𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)))
126125expimpd 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → ((𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦) → (𝑦𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)))
127126reximdv2 3152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
12884, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
129128ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅ → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
13070, 129pm2.61dne 3018 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
131130ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
132131alrimiv 2004 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ∀𝑥((𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
133 df-fr 5225 . . . . . . . . . 10 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) Fr (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
134132, 133sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) Fr (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
135 elun 3896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↔ (𝑥𝑋𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
136 elun 3896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↔ (𝑦𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
137135, 136anbi12i 735 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ↔ ((𝑥𝑋𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ (𝑦𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
138 weso 5257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊𝑋) We 𝑋 → (𝑊𝑋) Or 𝑋)
13920, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑊𝑋) Or 𝑋)
140 solin 5210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊𝑋) Or 𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝑊𝑋)𝑦𝑥 = 𝑦𝑦(𝑊𝑋)𝑥))
141139, 140sylan 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝑊𝑋)𝑦𝑥 = 𝑦𝑦(𝑊𝑋)𝑥))
142 ssun1 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊𝑋) ⊆ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑊𝑋) ⊆ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
144143ssbrd 4847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝑊𝑋)𝑦𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
145 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦))
146143ssbrd 4847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦(𝑊𝑋)𝑥𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
147144, 145, 1463orim123d 1556 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(𝑊𝑋)𝑦𝑥 = 𝑦𝑦(𝑊𝑋)𝑥) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
148141, 147mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
149148ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
150 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋)) → (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋))
151150ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋)) → (𝑦𝑋𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
152 brxp 5304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑥 ↔ (𝑦𝑋𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
153151, 152sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋)) → 𝑦(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑥)
154 ssun2 3920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
155154ssbri 4849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑥𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)
156 3mix3 1417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥 → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
157153, 155, 1563syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋)) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
158157ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
159 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
160 brxp 5304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
161159, 160sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → 𝑥(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦)
162154ssbri 4849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
163 3mix1 1415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
164161, 162, 1633syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
165164ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
166 elsni 4338 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} → 𝑥 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
167 elsni 4338 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} → 𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
168 eqtr3 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∧ 𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋))) → 𝑥 = 𝑦)
169166, 167, 168syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑥 = 𝑦)
1701693mix2d 1422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
172149, 158, 165, 171ccased 1025 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑋𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ (𝑦𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
173137, 172syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
174173ralrimivv 3108 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
175 dfwe2 7146 . . . . . . . . 9 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) We (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↔ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) Fr (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
176134, 174, 175sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) We (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
1772fpwwe2cbv 9644 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 [(𝑠 “ {𝑧}) / 𝑏](𝑏𝐹(𝑠 ∩ (𝑏 × 𝑏))) = 𝑧))}
178177, 4, 13fpwwe2lem3 9647 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) “ {𝑦})𝐹((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))) = 𝑦)
179 cnvimass 5643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ⊆ dom ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
180 fvex 6362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊𝑋) ∈ V
181 snex 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∈ V
182 xpexg 7125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ dom 𝑊 ∧ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∈ V) → (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V)
1838, 181, 182sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V)
184 unexg 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊𝑋) ∈ V ∧ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V) → ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V)
185180, 183, 184sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V)
186 dmexg 7262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V → dom ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V)
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → dom ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V)
188 ssexg 4956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ⊆ dom ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∧ dom ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ∈ V)
189179, 187, 188sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ∈ V)
190189adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ∈ V)
191 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) → 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}))
192 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
193 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
194 nelne2 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝑋 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝑦 ≠ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
195192, 193, 194syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦 ≠ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
19688, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
197196necon3ai 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ≠ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → ¬ 𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦)
198 biorf 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦 → (𝑧(𝑊𝑋)𝑦 ↔ (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦)))
199195, 197, 1983syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑧(𝑊𝑋)𝑦 ↔ (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦)))
200 orcom 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦) ↔ (𝑧(𝑊𝑋)𝑦𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
201200, 85bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦) ↔ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
202199, 201syl6rbb 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
203 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ V
204 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧 ∈ V
205204eliniseg 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ↔ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
206203, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ↔ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
207204eliniseg 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ↔ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
208203, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ↔ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦)
209202, 206, 2083bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑧 ∈ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))
210209eqrdv 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) = ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))
211191, 210sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → 𝑢 = ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))
212211sqxpeqd 5298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (𝑢 × 𝑢) = (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))
213212ineq2d 3957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢)) = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))))
214 indir 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = (((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))))
215 inxp 5410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ((𝑋 ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) × ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))
216 incom 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) = (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
217 cnvimass 5643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ⊆ dom (𝑊𝑋)
21818adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
219 dmss 5478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom (𝑊𝑋) ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
220218, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → dom (𝑊𝑋) ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
221 dmxpid 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
222220, 221syl6sseq 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → dom (𝑊𝑋) ⊆ 𝑋)
223217, 222syl5ss 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ⊆ 𝑋)
224223, 193ssneldd 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))
225 disjsn 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅ ↔ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))
226224, 225sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅)
227216, 226syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) = ∅)
228227xpeq2d 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑋 ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) × ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ((𝑋 ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) × ∅))
229 xp0 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) × ∅) = ∅
230228, 229syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑋 ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) × ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ∅)
231215, 230syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ∅)
232231uneq2d 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))) = (((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) ∪ ∅))
233214, 232syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = (((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) ∪ ∅))
234 un0 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) ∪ ∅) = ((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))
235233, 234syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))))
236235adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))))
237213, 236eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢)) = ((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))))
238211, 237oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = (((𝑊𝑋) “ {𝑦})𝐹((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))))
239238eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → ((𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦 ↔ (((𝑊𝑋) “ {𝑦})𝐹((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))) = 𝑦))
240190, 239sbcied 3613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ([(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦 ↔ (((𝑊𝑋) “ {𝑦})𝐹((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))) = 𝑦))
241178, 240mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → [(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)
242167adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
243242eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) = 𝑦)
244189adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ∈ V)
245 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
246242eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑦 ∈ dom (𝑊𝑋) ↔ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ dom (𝑊𝑋)))
24718adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
248 rnss 5509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → ran (𝑊𝑋) ⊆ ran (𝑋 × 𝑋))
249247, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ran (𝑊𝑋) ⊆ ran (𝑋 × 𝑋))
250 df-rn 5277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ran (𝑊𝑋) = dom (𝑊𝑋)
251 rnxpid 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ran (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
252249, 250, 2513sstr3g 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → dom (𝑊𝑋) ⊆ 𝑋)
253252sseld 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ dom (𝑊𝑋) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋))
254246, 253sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑦 ∈ dom (𝑊𝑋) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋))
255245, 254mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ 𝑦 ∈ dom (𝑊𝑋))
256 ndmima 5660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ dom (𝑊𝑋) → ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) = ∅)
257255, 256syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) = ∅)
258242sneqd 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → {𝑦} = {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
259258imaeq2d 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {𝑦}) = ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
260 df-ima 5279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ran ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
261 cnvxp 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋)
262261reseq1i 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = (({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
263 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}
264 xpssres 5592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} → (({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋))
265263, 264ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋)
266262, 265eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋)
267266rneqi 5507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ran ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋)
26846snnz 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ≠ ∅
269 rnxp 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ≠ ∅ → ran ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋) = 𝑋)
270268, 269ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋) = 𝑋
271267, 270eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ran ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = 𝑋
272260, 271eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = 𝑋
273259, 272syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {𝑦}) = 𝑋)
274257, 273uneq12d 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {𝑦})) = (∅ ∪ 𝑋))
275 cnvun 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) = ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
276275imaeq1i 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})
277 imaundir 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) = (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {𝑦}))
278276, 277eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) = (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {𝑦}))
279 un0 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
280 uncom 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝑋)
281279, 280eqtr3i 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (∅ ∪ 𝑋)
282274, 278, 2813eqtr4g 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) = 𝑋)
283191, 282sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → 𝑢 = 𝑋)
284283sqxpeqd 5298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (𝑢 × 𝑢) = (𝑋 × 𝑋))
285284ineq2d 3957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢)) = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑋 × 𝑋)))
286 indir 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = (((𝑊𝑋) ∩ (𝑋 × 𝑋)) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (𝑋 × 𝑋)))
287 df-ss 3729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋) ↔ ((𝑊𝑋) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = (𝑊𝑋))
288247, 287sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑊𝑋) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = (𝑊𝑋))
289 incom 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
290 disjsn 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅ ↔ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
291245, 290sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑋 ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅)
292289, 291syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ 𝑋) = ∅)
293292xpeq2d 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑋 × ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ 𝑋)) = (𝑋 × ∅))
294 xpindi 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 × ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ 𝑋)) = ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (𝑋 × 𝑋))
295 xp0 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 × ∅) = ∅
296293, 294, 2953eqtr3g 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = ∅)
297288, 296uneq12d 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) ∩ (𝑋 × 𝑋)) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (𝑋 × 𝑋))) = ((𝑊𝑋) ∪ ∅))
298286, 297syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑊𝑋) ∪ ∅))
299 un0 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊𝑋) ∪ ∅) = (𝑊𝑋)
300298, 299syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = (𝑊𝑋))
301300adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = (𝑊𝑋))
302285, 301eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢)) = (𝑊𝑋))
303283, 302oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
304303eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → ((𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦 ↔ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) = 𝑦))
305244, 304sbcied 3613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ([(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦 ↔ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) = 𝑦))
306243, 305mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → [(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)
307241, 306jaodan 861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → [(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)
308136, 307sylan2b 493 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → [(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)
309308ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})[(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)
310176, 309jca 555 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) We (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})[(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))
3112, 3fpwwe2lem2 9646 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑊((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ↔ (((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝐴 ∧ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))) ∧ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) We (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})[(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))))
312311adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑊((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ↔ (((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝐴 ∧ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))) ∧ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) We (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})[(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))))
31334, 310, 312mpbir2and 995 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑊((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
3142relopabi 5401 . . . . . . 7 Rel 𝑊
315314releldmi 5517 . . . . . 6 ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑊((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ dom 𝑊)
316 elssuni 4619 . . . . . 6 ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ dom 𝑊 → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ dom 𝑊)
317313, 315, 3163syl 18 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ dom 𝑊)
318317, 7syl6sseqr 3793 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝑋)
3191, 318syl5ss 3755 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ 𝑋)
32046snss 4460 . . 3 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋 ↔ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ 𝑋)
321319, 320sylibr 224 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
322321pm2.18da 458 1 (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071  w3a 1072  wal 1630   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  [wsbc 3576  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   cuni 4588   class class class wbr 4804  {copab 4864   Or wor 5186   Fr wfr 5222   We wwe 5224   × cxp 5264  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-oi 8580
This theorem is referenced by:  fpwwe2  9657
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