Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege109 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege109 38786
 Description: The property of belonging to the 𝑅-sequence beginning with 𝑋 is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 109 of [Frege1879] p. 74. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege109.x 𝑋𝑈
frege109.r 𝑅𝑉
Assertion
Ref Expression
frege109 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege109
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege75 38752 . 2 (∀𝑦(𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
2 frege109.x . . . . 5 𝑋𝑈
3 vex 3343 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4 vex 3343 . . . . 5 𝑧 ∈ V
5 frege109.r . . . . 5 𝑅𝑉
62, 3, 4, 5frege108 38785 . . . 4 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 → (𝑦𝑅𝑧𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧))
7 df-br 4805 . . . . 5 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
82elexi 3353 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
98, 3elimasn 5648 . . . . 5 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
107, 9bitr4i 267 . . . 4 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
11 df-br 4805 . . . . . 6 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧 ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
128, 4elimasn 5648 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
1311, 12bitr4i 267 . . . . 5 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
1413imbi2i 325 . . . 4 ((𝑦𝑅𝑧𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧) ↔ (𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
156, 10, 143imtr3i 280 . . 3 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
1615alrimiv 2004 . 2 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
171, 16mpg 1873 1 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1630   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∪ cun 3713  {csn 4321  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804   I cid 5173   “ cima 5269  ‘cfv 6049  t+ctcl 13945   hereditary whe 38586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-frege1 38604  ax-frege2 38605  ax-frege8 38623  ax-frege28 38644  ax-frege31 38648  ax-frege41 38659  ax-frege52a 38671  ax-frege52c 38702  ax-frege58b 38715 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-seq 13016  df-trcl 13947  df-relexp 13980  df-he 38587 This theorem is referenced by:  frege110  38787
 Copyright terms: Public domain W3C validator