Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege129d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege129d 36868
Description: If 𝐹 is a function and (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹, the successor of 𝐴 is either 𝐵 or it follows 𝐵 or it comes before 𝐵 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 129 of [Frege1879] p. 83. Comparw with frege129 37100. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege129d.f (𝜑𝐹 ∈ V)
frege129d.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
frege129d.c (𝜑𝐶 = (𝐹𝐴))
frege129d.or (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
frege129d.fun (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
frege129d (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Proof of Theorem frege129d
StepHypRef Expression
1 frege129d.or . 2 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
2 frege129d.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐹 ∈ V)
4 frege129d.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6 frege129d.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = (𝐹𝐴))
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐶 = (𝐹𝐴))
8 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)
9 frege129d.fun . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → Fun 𝐹)
113, 5, 7, 8, 10frege126d 36867 . . . . . 6 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
12 biid 250 . . . . . . 7 (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶(t+‘𝐹)𝐵)
13 eqcom 2617 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐵𝐵 = 𝐶)
14 biid 250 . . . . . . 7 (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
1512, 13, 143orbi123i 1245 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
1611, 15sylib 207 . . . . 5 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
17 3orcomb 1041 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶))
18 3orrot 1037 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶) ↔ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
1917, 18sylbb 208 . . . . 5 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
2016, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
2120ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
22 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
236eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐶)
24 funbrfvb 6133 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
2524biimpd 218 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
269, 4, 25syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
2723, 26mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐹𝐶)
282, 27frege91d 36856 . . . . . . 7 (𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
3022, 29eqbrtrrd 4602 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
3130ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
32 3mix1 1223 . . . 4 (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
3331, 32syl6 34 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
342adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐹 ∈ V)
35 funrel 5807 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
369, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Rel 𝐹)
37 reltrclfv 13555 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
382, 36, 37syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
39 brrelex 5070 . . . . . . 7 ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
4038, 39sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41 fvex 6098 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴) ∈ V
426, 41syl6eqel 2696 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
4342adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐶 ∈ V)
44 elex 3185 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝐹𝐴 ∈ V)
454, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
4645adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
47 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)
4827adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴𝐹𝐶)
4934, 40, 43, 46, 47, 48frege96d 36854 . . . . 5 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
5049ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
5150, 32syl6 34 . . 3 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
5221, 33, 513jaod 1384 . 2 (𝜑 → ((𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
531, 52mpd 15 1 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3o 1030   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4578  dom cdm 5028  Rel wrel 5033  Fun wfun 5784  cfv 5790  t+ctcl 13521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-seq 12622  df-trcl 13523  df-relexp 13558
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator