Theorem frege83 40285

Description: Apply commuted form of frege81 40283 when the property 𝑅 is hereditary in a disjunction of two properties, only one of which is known to be held by 𝑋. Proposition 83 of [Frege1879] p. 65. Here we introduce the union of classes where Frege has a disjunction of properties which are represented by membership in either of the classes. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege83.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑆
frege83.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑇
frege83.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑈
frege83.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑉
frege83.c	⊢ 𝐶 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege83	⊢ (𝑅 hereditary (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶))))

Proof of Theorem frege83

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege36 40178	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐶))
2		elun 4124	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∨ 𝑋 ∈ 𝐶))
3		df-or 844	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∨ 𝑋 ∈ 𝐶) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐶))
4	2, 3	bitri 277	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐶))
5	1, 4	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶))
6		frege83.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑆
7		frege83.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑇
8		frege83.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑈
9		frege83.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑉
10	9	elexi 3513	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
11		frege83.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑊
12	11	elexi 3513	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
13	10, 12	unex 7463	. . 3 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V
14	6, 7, 8, 13	frege82 40284	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶)) → (𝑅 hereditary (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶)))))
15	5, 14	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑅 hereditary (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → 𝑌 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 843   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ∪ cun 3933   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  t+ctcl 14339   hereditary whe 40111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-frege1 40129  ax-frege2 40130  ax-frege8 40148  ax-frege28 40169  ax-frege31 40173  ax-frege52a 40196  ax-frege58b 40240

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-trcl 14341  df-relexp 14374  df-he 40112

This theorem is referenced by:  frege133  40335