Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege83 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege83 37054
Description: Apply commuted form of frege81 37052 when the property 𝑅 is hereditary in a disjunction of two properties, only one of which is known to be held by 𝑋. Proposition 83 of [Frege1879] p. 65. Here we introduce the union of classes where Frege has a disjunction of properties which are represented by membership in either of the classes. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege83.x 𝑋𝑆
frege83.y 𝑌𝑇
frege83.r 𝑅𝑈
frege83.b 𝐵𝑉
frege83.c 𝐶𝑊
Assertion
Ref Expression
frege83 (𝑅 hereditary (𝐵𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (𝐵𝐶))))

Proof of Theorem frege83
StepHypRef Expression
1 frege36 36947 . . 3 (𝑋𝐵 → (¬ 𝑋𝐵𝑋𝐶))
2 elun 3715 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝑋𝐵𝑋𝐶))
3 df-or 384 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑋𝐶) ↔ (¬ 𝑋𝐵𝑋𝐶))
42, 3bitri 263 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (¬ 𝑋𝐵𝑋𝐶))
51, 4sylibr 223 . 2 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝐵𝐶))
6 frege83.x . . 3 𝑋𝑆
7 frege83.y . . 3 𝑌𝑇
8 frege83.r . . 3 𝑅𝑈
9 frege83.b . . . . 5 𝐵𝑉
109elexi 3186 . . . 4 𝐵 ∈ V
11 frege83.c . . . . 5 𝐶𝑊
1211elexi 3186 . . . 4 𝐶 ∈ V
1310, 12unex 6832 . . 3 (𝐵𝐶) ∈ V
146, 7, 8, 13frege82 37053 . 2 ((𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝐵𝐶)) → (𝑅 hereditary (𝐵𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (𝐵𝐶)))))
155, 14ax-mp 5 1 (𝑅 hereditary (𝐵𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌𝑌 ∈ (𝐵𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wcel 1977  Vcvv 3173  cun 3538   class class class wbr 4578  cfv 5790  t+ctcl 13521   hereditary whe 36880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-frege1 36898  ax-frege2 36899  ax-frege8 36917  ax-frege28 36938  ax-frege31 36942  ax-frege52a 36965  ax-frege58b 37009
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-seq 12622  df-trcl 13523  df-relexp 13558  df-he 36881
This theorem is referenced by:  frege133  37104
  Copyright terms: Public domain W3C validator