Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege87 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege87 37726
 Description: If 𝑍 is a result of an application of the procedure 𝑅 to an object 𝑌 that follows 𝑋 in the 𝑅-sequence and if every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝑋 has a property 𝐴 that is hereditary in the 𝑅-sequence, then 𝑍 has property 𝐴. Proposition 87 of [Frege1879] p. 66. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.) (Revised by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege87.x 𝑋𝑈
frege87.y 𝑌𝑉
frege87.z 𝑍𝑊
frege87.r 𝑅𝑆
frege87.a 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
frege87 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝑅   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑉(𝑤)   𝑊(𝑤)   𝑌(𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem frege87
StepHypRef Expression
1 frege87.y . . 3 𝑌𝑉
2 frege87.z . . 3 𝑍𝑊
31, 2frege73 37712 . 2 ((𝑅 hereditary 𝐴𝑌𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴)))
4 frege87.x . . 3 𝑋𝑈
5 frege87.r . . 3 𝑅𝑆
6 frege87.a . . 3 𝐴𝐵
74, 1, 5, 6frege86 37725 . 2 (((𝑅 hereditary 𝐴𝑌𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴))) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴)))))
83, 7ax-mp 5 1 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (∀𝑤(𝑋𝑅𝑤𝑤𝐴) → (𝑅 hereditary 𝐴 → (𝑌𝑅𝑍𝑍𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1478   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  t+ctcl 13658   hereditary whe 37548 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-frege1 37566  ax-frege2 37567  ax-frege8 37585  ax-frege52a 37633  ax-frege58b 37677 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-trcl 13660  df-relexp 13695  df-he 37549 This theorem is referenced by:  frege88  37727
 Copyright terms: Public domain W3C validator