Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege93 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege93 37094
Description: Necessary condition for two elements to be related by the transitive closure. Proposition 93 of [Frege1879] p. 70. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x 𝑋𝑈
frege91.y 𝑌𝑉
frege91.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege93 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝑅   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑧   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem frege93
StepHypRef Expression
1 vex 3175 . . . . 5 𝑓 ∈ V
21frege60c 37061 . . . 4 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 → ([𝑓 / 𝑓]𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌𝑓)))
3 sbcid 3418 . . . 4 ([𝑓 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓𝑅 hereditary 𝑓)
4 sbcid 3418 . . . . 5 ([𝑓 / 𝑓]𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) ↔ ∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓))
5 sbcid 3418 . . . . 5 ([𝑓 / 𝑓]𝑌𝑓𝑌𝑓)
64, 5imbi12i 338 . . . 4 (([𝑓 / 𝑓]𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → [𝑓 / 𝑓]𝑌𝑓) ↔ (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓))
72, 3, 63imtr3g 282 . . 3 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓)))
87axc4i 2115 . 2 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓)))
9 frege91.x . . 3 𝑋𝑈
10 frege91.y . . 3 𝑌𝑉
11 frege91.r . . 3 𝑅𝑊
129, 10, 11frege90 37091 . 2 ((∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → 𝑌𝑓))) → (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
138, 12ax-mp 5 1 (∀𝑓(∀𝑧(𝑋𝑅𝑧𝑧𝑓) → (𝑅 hereditary 𝑓𝑌𝑓)) → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1472  wcel 1976  Vcvv 3172  [wsbc 3401   class class class wbr 4577  cfv 5790  t+ctcl 13521   hereditary whe 36910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-frege1 36928  ax-frege2 36929  ax-frege8 36947  ax-frege52a 36995  ax-frege58b 37039
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-seq 12622  df-trcl 13523  df-relexp 13558  df-he 36911
This theorem is referenced by:  frege94  37095
  Copyright terms: Public domain W3C validator