Theorem frege97 38756

Description: The property of following 𝑋 in the 𝑅-sequence is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 97 of [Frege1879] p. 71.

Here we introduce the image of a singleton under a relation as class which stands for the property of following 𝑋 in the 𝑅 -sequence. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege97.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege97.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege97	⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege97

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege75 38734	. 2 ⊢ (∀𝑏(𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
2		frege97.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
3		vex 3343	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
4		vex 3343	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
5		frege97.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
6	2, 3, 4, 5	frege96 38755	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 → (𝑏𝑅𝑎 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑎))
7		df-br 4805	. . . . 5 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
8	2	elexi 3353	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
9	8, 3	elimasn 5648	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
10	7, 9	bitr4i 267	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 ↔ 𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
11		df-br 4805	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
12	8, 4	elimasn 5648	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
13	11, 12	bitr4i 267	. . . . 5 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑎 ↔ 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
14	13	imbi2i 325	. . . 4 ⊢ ((𝑏𝑅𝑎 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑎) ↔ (𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
15	6, 10, 14	3imtr3i 280	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
16	15	alrimiv 2004	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
17	1, 16	mpg 1873	1 ⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1630   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  {csn 4321  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804   “ cima 5269  ‘cfv 6049  t+ctcl 13925   hereditary whe 38568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-frege1 38586  ax-frege2 38587  ax-frege8 38605  ax-frege52a 38653  ax-frege58b 38697

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-seq 12996  df-trcl 13927  df-relexp 13960  df-he 38569

This theorem is referenced by:  frege98  38757