MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpadd 18097
Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r = ( ~FG𝐼)
frgpadd.n + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgpadd ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] )

Proof of Theorem frgpadd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐴𝑊)
2 simpr 477 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
3 frgpadd.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
43efgrcl 18049 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
65simpld 475 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐼 ∈ V)
7 frgpadd.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8 eqid 2621 . . . . . 6 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
9 frgpadd.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
107, 8, 9frgpval 18092 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
125simprd 479 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
13 2on 7513 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
14 xpexg 6913 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
156, 13, 14sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
16 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
178, 16frmdbas 17310 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1912, 18eqtr4d 2658 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
203, 9efger 18052 . . . . 5 Er 𝑊
2120a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → Er 𝑊)
228frmdmnd 17317 . . . . 5 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
2315, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
24 eqid 2621 . . . . . 6 (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
257, 8, 9, 24frgpcpbl 18093 . . . . 5 ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑))
2625a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑)))
2723adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
28 simprl 793 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑏𝑊)
2919adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3028, 29eleqtrd 2700 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
31 simprr 795 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑑𝑊)
3231, 29eleqtrd 2700 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3316, 24mndcl 17222 . . . . . 6 (((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3534, 29eleqtrrd 2701 . . . 4 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ 𝑊)
36 frgpadd.n . . . 4 + = (+g𝐺)
3711, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36qusaddval 16134 . . 3 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] )
381, 2, 37mpd3an23 1423 . 2 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] )
391, 19eleqtrd 2700 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
402, 19eleqtrd 2700 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
418, 16, 24frmdadd 17313 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
4239, 40, 41syl2anc 692 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
4342eceq1d 7728 . 2 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] = [(𝐴 ++ 𝐵)] )
4438, 43eqtrd 2655 1 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186   class class class wbr 4613   I cid 4984   × cxp 5072  Oncon0 5682  cfv 5847  (class class class)co 6604  2𝑜c2o 7499   Er wer 7684  [cec 7685  Word cword 13230   ++ cconcat 13232  Basecbs 15781  +gcplusg 15862   /s cqus 16086  Mndcmnd 17215  freeMndcfrmd 17305   ~FG cefg 18040  freeGrpcfrgp 18041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-s2 13530  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-imas 16089  df-qus 16090  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-frmd 17307  df-efg 18043  df-frgp 18044
This theorem is referenced by:  frgpinv  18098  frgpmhm  18099  frgpup1  18109  frgpnabllem1  18197
  Copyright terms: Public domain W3C validator