MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpeccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpeccl 18102
Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r = ( ~FG𝐼)
frgpeccl.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpeccl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgpeccl (𝑋𝑊 → [𝑋] 𝐵)

Proof of Theorem frgpeccl
StepHypRef Expression
1 frgp0.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
2 fvex 6163 . . . 4 ( ~FG𝐼) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . 3 ∈ V
43ecelqsi 7755 . 2 (𝑋𝑊 → [𝑋] ∈ (𝑊 / ))
5 frgpeccl.w . . . . . . 7 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
65efgrcl 18056 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
76simpld 475 . . . . 5 (𝑋𝑊𝐼 ∈ V)
8 frgp0.m . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
9 eqid 2621 . . . . . 6 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
108, 9, 1frgpval 18099 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
117, 10syl 17 . . . 4 (𝑋𝑊𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
126simprd 479 . . . . 5 (𝑋𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
13 2on 7520 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
14 xpexg 6920 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
157, 13, 14sylancl 693 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
16 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
179, 16frmdbas 17317 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1815, 17syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑊 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1912, 18eqtr4d 2658 . . . 4 (𝑋𝑊𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
203a1i 11 . . . 4 (𝑋𝑊 ∈ V)
21 fvex 6163 . . . . 5 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (𝑋𝑊 → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V)
2311, 19, 20, 22qusbas 16133 . . 3 (𝑋𝑊 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
24 frgpeccl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2523, 24syl6eqr 2673 . 2 (𝑋𝑊 → (𝑊 / ) = 𝐵)
264, 25eleqtrd 2700 1 (𝑋𝑊 → [𝑋] 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189   I cid 4989   × cxp 5077  Oncon0 5687  cfv 5852  (class class class)co 6610  2𝑜c2o 7506  [cec 7692   / cqs 7693  Word cword 13237  Basecbs 15788   /s cqus 16093  freeMndcfrmd 17312   ~FG cefg 18047  freeGrpcfrgp 18048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-hash 13065  df-word 13245  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-imas 16096  df-qus 16097  df-frmd 17314  df-frgp 18051
This theorem is referenced by:  frgpinv  18105  frgpmhm  18106  vrgpf  18109  frgpup3lem  18118
  Copyright terms: Public domain W3C validator