Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpmhm 18099
 Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
frgpmhm.w 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r = ( ~FG𝐼)
frgpmhm.f 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
Assertion
Ref Expression
frgpmhm (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 7513 . . . . 5 2𝑜 ∈ On
2 xpexg 6913 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
31, 2mpan2 706 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
4 frgpmhm.m . . . . 5 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
54frmdmnd 17317 . . . 4 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
63, 5syl 17 . . 3 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
7 frgpmhm.g . . . . 5 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
87frgpgrp 18096 . . . 4 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
9 grpmnd 17350 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Mnd)
116, 10jca 554 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd))
12 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (Base‘𝑀)
134, 12frmdbas 17310 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
14 wrdexg 13254 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
15 fvi 6212 . . . . . . . . . 10 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1713, 16eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
183, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
1918eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑥𝑊𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
2019biimpa 501 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
21 frgpmhm.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
22 eqid 2621 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
23 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
247, 21, 22, 23frgpeccl 18095 . . . . 5 (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
2520, 24syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
26 frgpmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
2725, 26fmptd 6340 . . 3 (𝐼𝑉𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
2822, 21efger 18052 . . . . . . . 8 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
29 ereq2 7695 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
3018, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
3128, 30mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 Er 𝑊)
3231adantr 481 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → Er 𝑊)
33 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) ∈ V
3412, 33eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
3632, 35, 26divsfval 16128 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
37 eqid 2621 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
384, 12, 37frmdadd 17313 . . . . . . 7 ((𝑎𝑊𝑏𝑊) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
3938adantl 482 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
4039fveq2d 6152 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
4132, 35, 26divsfval 16128 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑎) = [𝑎] )
4232, 35, 26divsfval 16128 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑏) = [𝑏] )
4341, 42oveq12d 6622 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ))
4418eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑎𝑊𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
4518eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑏𝑊𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
4644, 45anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ((𝑎𝑊𝑏𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))))
4746biimpa 501 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
48 eqid 2621 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4922, 7, 21, 48frgpadd 18097 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
5047, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
5143, 50eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
5236, 40, 513eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5352ralrimivva 2965 . . 3 (𝐼𝑉 → ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5434a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑊 ∈ V)
5531, 54, 26divsfval 16128 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] )
567, 21frgp0 18094 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
5756simprd 479 . . . 4 (𝐼𝑉 → [∅] = (0g𝐺))
5855, 57eqtrd 2655 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g𝐺))
5927, 53, 583jca 1240 . 2 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺)))
604frmd0 17318 . . 3 ∅ = (0g𝑀)
61 eqid 2621 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6212, 23, 37, 48, 60, 61ismhm 17258 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺))))
6311, 59, 62sylanbrc 697 1 (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186  ∅c0 3891   ↦ cmpt 4673   I cid 4984   × cxp 5072  Oncon0 5682  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  2𝑜c2o 7499   Er wer 7684  [cec 7685  Word cword 13230   ++ cconcat 13232  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Mndcmnd 17215   MndHom cmhm 17254  freeMndcfrmd 17305  Grpcgrp 17343   ~FG cefg 18040  freeGrpcfrgp 18041 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-reverse 13244  df-s2 13530  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-0g 16023  df-imas 16089  df-qus 16090  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-frmd 17307  df-grp 17346  df-efg 18043  df-frgp 18044 This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18111
 Copyright terms: Public domain W3C validator