MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpmhm 18370
Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
frgpmhm.w 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r = ( ~FG𝐼)
frgpmhm.f 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
Assertion
Ref Expression
frgpmhm (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 7729 . . . . 5 2𝑜 ∈ On
2 xpexg 7117 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
31, 2mpan2 709 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
4 frgpmhm.m . . . . 5 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
54frmdmnd 17589 . . . 4 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
63, 5syl 17 . . 3 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
7 frgpmhm.g . . . . 5 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
87frgpgrp 18367 . . . 4 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
9 grpmnd 17622 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Mnd)
116, 10jca 555 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd))
12 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (Base‘𝑀)
134, 12frmdbas 17582 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
14 wrdexg 13493 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
15 fvi 6409 . . . . . . . . . 10 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1713, 16eqtr4d 2789 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
183, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
1918eleq2d 2817 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑥𝑊𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
2019biimpa 502 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
21 frgpmhm.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
22 eqid 2752 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
23 eqid 2752 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
247, 21, 22, 23frgpeccl 18366 . . . . 5 (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
2520, 24syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
26 frgpmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
2725, 26fmptd 6540 . . 3 (𝐼𝑉𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
2822, 21efger 18323 . . . . . . . 8 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
29 ereq2 7911 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
3018, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
3128, 30mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 Er 𝑊)
3231adantr 472 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → Er 𝑊)
33 fvex 6354 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) ∈ V
3412, 33eqeltri 2827 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
3632, 35, 26divsfval 16401 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
37 eqid 2752 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
384, 12, 37frmdadd 17585 . . . . . . 7 ((𝑎𝑊𝑏𝑊) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
3938adantl 473 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
4039fveq2d 6348 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
4132, 35, 26divsfval 16401 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑎) = [𝑎] )
4232, 35, 26divsfval 16401 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑏) = [𝑏] )
4341, 42oveq12d 6823 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ))
4418eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑎𝑊𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
4518eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑏𝑊𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
4644, 45anbi12d 749 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ((𝑎𝑊𝑏𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))))
4746biimpa 502 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
48 eqid 2752 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4922, 7, 21, 48frgpadd 18368 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
5047, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
5143, 50eqtrd 2786 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
5236, 40, 513eqtr4d 2796 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5352ralrimivva 3101 . . 3 (𝐼𝑉 → ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5434a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑊 ∈ V)
5531, 54, 26divsfval 16401 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] )
567, 21frgp0 18365 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
5756simprd 482 . . . 4 (𝐼𝑉 → [∅] = (0g𝐺))
5855, 57eqtrd 2786 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g𝐺))
5927, 53, 583jca 1122 . 2 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺)))
604frmd0 17590 . . 3 ∅ = (0g𝑀)
61 eqid 2752 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6212, 23, 37, 48, 60, 61ismhm 17530 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺))))
6311, 59, 62sylanbrc 701 1 (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  Vcvv 3332  c0 4050  cmpt 4873   I cid 5165   × cxp 5256  Oncon0 5876  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  2𝑜c2o 7715   Er wer 7900  [cec 7901  Word cword 13469   ++ cconcat 13471  Basecbs 16051  +gcplusg 16135  0gc0g 16294  Mndcmnd 17487   MndHom cmhm 17526  freeMndcfrmd 17577  Grpcgrp 17615   ~FG cefg 18311  freeGrpcfrgp 18312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-ot 4322  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-ec 7905  df-qs 7909  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-hash 13304  df-word 13477  df-lsw 13478  df-concat 13479  df-s1 13480  df-substr 13481  df-splice 13482  df-reverse 13483  df-s2 13785  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-0g 16296  df-imas 16362  df-qus 16363  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-frmd 17579  df-grp 17618  df-efg 18314  df-frgp 18315
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18382
  Copyright terms: Public domain W3C validator