MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup2 18121
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
frgpup.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
frgpup.y (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpup2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup2
StepHypRef Expression
1 frgpup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
2 frgpup.y . . . 4 (𝜑𝐴𝐼)
3 frgpup.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
4 frgpup.u . . . . 5 𝑈 = (varFGrp𝐼)
53, 4vrgpval 18112 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
61, 2, 5syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
76fveq2d 6157 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
8 0ex 4755 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
98prid1 4272 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
10 df2o3 7525 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
119, 10eleqtrri 2697 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
12 opelxpi 5113 . . . . . 6 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
132, 11, 12sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
1413s1cld 13330 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
15 frgpup.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
16 2on 7520 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
17 xpexg 6920 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
181, 16, 17sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
19 wrdexg 13262 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
20 fvi 6217 . . . . . 6 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
2118, 19, 203syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
2215, 21syl5eq 2667 . . . 4 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
2314, 22eleqtrrd 2701 . . 3 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
24 frgpup.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
25 frgpup.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐻)
26 frgpup.t . . . 4 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
27 frgpup.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
28 frgpup.a . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
29 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
30 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
31 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
3224, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31frgpupval 18119 . . 3 ((𝜑 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊) → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
3323, 32mpdan 701 . 2 (𝜑 → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
3424, 25, 26, 27, 1, 28frgpuptf 18115 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵)
35 s1co 13524 . . . . . 6 ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3613, 34, 35syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
37 df-ov 6613 . . . . . . 7 (𝐴𝑇∅) = (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)
38 iftrue 4069 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ∅ → if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))) = (𝐹𝑦))
39 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
4038, 39sylan9eqr 2677 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝐴𝑧 = ∅) → if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))) = (𝐹𝐴))
41 fvex 6163 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴) ∈ V
4240, 26, 41ovmpt2a 6751 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (𝐴𝑇∅) = (𝐹𝐴))
432, 11, 42sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑇∅) = (𝐹𝐴))
4437, 43syl5eqr 2669 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩) = (𝐹𝐴))
4544s1eqd 13328 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“(𝐹𝐴)”⟩)
4636, 45eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝐹𝐴)”⟩)
4746oveq2d 6626 . . 3 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩))
4828, 2ffvelrnd 6321 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
4924gsumws1 17308 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩) = (𝐹𝐴))
5048, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩) = (𝐹𝐴))
5147, 50eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐹𝐴))
527, 33, 513eqtrd 2659 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  c0 3896  ifcif 4063  {cpr 4155  cop 4159  cmpt 4678   I cid 4989   × cxp 5077  ran crn 5080  ccom 5083  Oncon0 5687  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  1𝑜c1o 7505  2𝑜c2o 7506  [cec 7692  Word cword 13238  ⟨“cs1 13241  Basecbs 15792   Σg cgsu 16033  Grpcgrp 17354  invgcminusg 17355   ~FG cefg 18051  freeGrpcfrgp 18052  varFGrpcvrgp 18053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-substr 13250  df-splice 13251  df-s2 13538  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-imas 16100  df-qus 16101  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-frmd 17318  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-efg 18054  df-frgp 18055  df-vrgp 18056
This theorem is referenced by:  frgpup3  18123
  Copyright terms: Public domain W3C validator