MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupf 18828
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupf (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
2 frgpup.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
3 grpmnd 18048 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
5 frgpup.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6 fviss 6734 . . . . . . . 8 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
75, 6eqsstri 3998 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
87sseli 3960 . . . . . 6 (𝑔𝑊𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o))
9 frgpup.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐻)
10 frgpup.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝐻)
11 frgpup.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
12 frgpup.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
13 frgpup.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
149, 10, 11, 2, 12, 13frgpuptf 18825 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
15 wrdco 14181 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
168, 14, 15syl2anr 596 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
179gsumwcl 17991 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
184, 16, 17syl2an2r 681 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
19 frgpup.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
205, 19efger 18773 . . . . 5 Er 𝑊
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 Er 𝑊)
225fvexi 6677 . . . . 5 𝑊 ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ V)
24 coeq2 5722 . . . . 5 (𝑔 = → (𝑇𝑔) = (𝑇))
2524oveq2d 7161 . . . 4 (𝑔 = → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
269, 10, 11, 2, 12, 13, 5, 19frgpuplem 18827 . . . 4 ((𝜑𝑔 ) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
271, 18, 21, 23, 25, 26qliftfund 8372 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐸)
281, 18, 21, 23qliftf 8374 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐸𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
2927, 28mpbid 233 . 2 (𝜑𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵)
30 frgpup.g . . . . . . 7 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
31 eqid 2818 . . . . . . 7 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
3230, 31, 19frgpval 18813 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
3312, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
34 2on 8100 . . . . . . . . 9 2o ∈ On
35 xpexg 7462 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
3612, 34, 35sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
37 wrdexg 13859 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
38 fvi 6733 . . . . . . . 8 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
405, 39syl5eq 2865 . . . . . 6 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
41 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
4231, 41frmdbas 18005 . . . . . . 7 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4336, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4440, 43eqtr4d 2856 . . . . 5 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4519fvexi 6677 . . . . . 6 ∈ V
4645a1i 11 . . . . 5 (𝜑 ∈ V)
47 fvexd 6678 . . . . 5 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
4833, 44, 46, 47qusbas 16806 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
49 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
5048, 49syl6reqr 2872 . . 3 (𝜑𝑋 = (𝑊 / ))
5150feq2d 6493 . 2 (𝜑 → (𝐸:𝑋𝐵𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
5229, 51mpbird 258 1 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  c0 4288  ifcif 4463  cop 4563  cmpt 5137   I cid 5452   × cxp 5546  ran crn 5549  ccom 5552  Oncon0 6184  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  2oc2o 8085   Er wer 8275  [cec 8276   / cqs 8277  Word cword 13849  Basecbs 16471   Σg cgsu 16702   /s cqus 16766  Mndcmnd 17899  freeMndcfrmd 18000  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042   ~FG cefg 18761  freeGrpcfrgp 18762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-substr 13991  df-pfx 14021  df-splice 14100  df-s2 14198  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-frmd 18002  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-efg 18764  df-frgp 18765
This theorem is referenced by:  frgpupval  18829  frgpup1  18830
  Copyright terms: Public domain W3C validator