Theorem frgr2wwlkeu 28108

Description: For two different vertices in a friendship graph, there is exactly one third vertex being the middle vertex of a (simple) path/walk of length 2 between the two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgr2wwlkeu.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgr2wwlkeu	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐺,𝑐   𝑉,𝑐

Proof of Theorem frgr2wwlkeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1085	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		frgr2wwlkeu.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	frcond2 28048	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
5	1, 4	syl5bir 245	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
6	5	3impib 1112	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		frgrusgr 28042	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
8		usgrumgr 26966	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
9		3anan32 1093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
10	2, 3	umgrwwlks2on 27738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
11	10	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
12	9, 11	syl5bir 245	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
13	7, 8, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
14	13	impl 458	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
15	14	reubidva 3390	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
16	15	3adant3 1128	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
17	6, 16	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃!wreu 3142  {cpr 4571  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  2c2 11695  ⟨“cs3 14206  Vtxcvtx 26783  Edgcedg 26834  UMGraphcumgr 26868  USGraphcusgr 26936   WWalksNOn cwwlksnon 27607   FriendGraph cfrgr 28039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-ac2 9887  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-ac 9544  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13925  df-s1 13952  df-s2 14212  df-s3 14213  df-edg 26835  df-uhgr 26845  df-upgr 26869  df-umgr 26870  df-usgr 26938  df-wlks 27383  df-wwlks 27610  df-wwlksn 27611  df-wwlksnon 27612  df-frgr 28040

This theorem is referenced by:  frgr2wwlkn0  28109  frgr2wwlk1  28110  frgr2wwlkeqm  28112