MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgr2wwlkeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgr2wwlkeu 27178
Description: For two different vertices in a friendship graph, there is exactly one third vertex being the middle vertex of a (simple) path/walk of length 2 between the two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frgr2wwlkeu.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgr2wwlkeu ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ∃!𝑐𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐺,𝑐   𝑉,𝑐

Proof of Theorem frgr2wwlkeu
StepHypRef Expression
1 df-3an 1039 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵))
2 frgr2wwlkeu.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2621 . . . . 5 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
42, 3frcond2 27124 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝐵) → ∃!𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
51, 4syl5bir 233 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ∃!𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
653impib 1261 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ∃!𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))
7 frgrusgr 27117 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
8 usgrumgr 26068 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph )
9 3anan32 1049 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑐𝑉𝐵𝑉) ↔ ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑐𝑉))
102, 3umgrwwlks2on 26844 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝑐𝑉𝐵𝑉)) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
1110ex 450 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐴𝑉𝑐𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
129, 11syl5bir 233 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑐𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
137, 8, 123syl 18 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑐𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1413impl 650 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
1514reubidva 3123 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (∃!𝑐𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ∃!𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
16153adant3 1080 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (∃!𝑐𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ∃!𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
176, 16mpbird 247 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ∃!𝑐𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  ∃!wreu 2913  {cpr 4177  cfv 5886  (class class class)co 6647  2c2 11067  ⟨“cs3 13581  Vtxcvtx 25868  Edgcedg 25933   UMGraph cumgr 25970   USGraph cusgr 26038   WWalksNOn cwwlksnon 26713   FriendGraph cfrgr 27113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-ac2 9282  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-ac 8936  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-hash 13113  df-word 13294  df-concat 13296  df-s1 13297  df-s2 13587  df-s3 13588  df-edg 25934  df-uhgr 25947  df-upgr 25971  df-umgr 25972  df-usgr 26040  df-wlks 26489  df-wwlks 26716  df-wwlksn 26717  df-wwlksnon 26718  df-frgr 27114
This theorem is referenced by:  frgr2wwlkn0  27179  frgr2wwlk1  27180  frgr2wwlkeqm  27182
  Copyright terms: Public domain W3C validator