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Theorem frgrareg 26437
Description: If a finite friendship graph is k-regular, then k must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgrareg ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Proof of Theorem frgrareg
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgraprop 26249 . . . . 5 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾))
2 nn0re 11150 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
3 1re 9895 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
4 lenlt 9967 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
54bicomd 211 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (¬ 1 < 𝐾𝐾 ≤ 1))
62, 3, 5sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 1 < 𝐾𝐾 ≤ 1))
7 ioran 509 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) ↔ (¬ 𝐾 = 0 ∧ ¬ 𝐾 = 2))
8 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
9 elnnne0 11155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
10 nnle1eq1 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 = 1))
11 rusgrasn 26265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑉) = 1 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → 𝐾 = 0)
1211orcd 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑉) = 1 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
1312expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
1413adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
1514com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
1615a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
1716a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
18 hashcl 12963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
19 rusisusgra 26251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 USGrph 𝐸)
20 usgrav 25660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
22 hasheq0 12969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
2322bicomd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑉 ∈ V → (𝑉 = ∅ ↔ (#‘𝑉) = 0))
2423necon3bid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ≠ ∅ ↔ (#‘𝑉) ≠ 0))
25 elnnne0 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
26 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((#‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 1)
27 eluz2b3 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1))
28 eluz2 11527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)))
293a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
30 2re 10939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 2 ∈ ℝ)
32 zre 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((#‘𝑉) ∈ ℤ → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
3332adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
34 1lt2 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1 < 2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((#‘𝑉) ∈ ℤ → 1 < 2)
3635anim1i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)))
37 ltletr 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉)))
3837imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (1 < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑉))) → 1 < (#‘𝑉))
3929, 31, 33, 36, 38syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
40 eqeq2 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (𝐾 = 1 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
4140ralbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
4241ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
43 vdgn1frgrav3 26348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1)
44 r19.26 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
45 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ↔ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1)
4645anbi1i 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ (¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
47 ancom 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ((¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
48 pm3.24 921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ¬ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1)
4948bifal 1487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ ⊥)
5046, 47, 493bitri 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ ⊥)
5150ralbii 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ ∀𝑣𝑉 ⊥)
52 r19.3rzv 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 (𝑉 ≠ ∅ → (⊥ ↔ ∀𝑣𝑉 ⊥))
53 falim 1488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 (⊥ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
5452, 53syl6bir 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ⊥ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5554com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 (∀𝑣𝑉 ⊥ → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5651, 55sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5744, 56sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ((∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5857ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5943, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6059expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6160ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6261impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6342, 62sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6463com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6564ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6665com24 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
68673ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
691, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7069impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7170impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7271com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7372ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7439, 73syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
75743adant1 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7628, 75sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7727, 76sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7877expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((#‘𝑉) ≠ 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7978com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((#‘𝑉) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
8026, 79sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
8180com13 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
8225, 81sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
8382expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((#‘𝑉) ≠ 0 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
8483com25 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((#‘𝑉) ≠ 0 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
8584expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
8624, 85syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
8786com13 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ V → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
8887pm2.43i 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ V → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
8988imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
9089expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
9190expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
9291com24 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ∈ V → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
9392adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
9421, 93mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
9594imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
9695com15 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
9718, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
9897imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
9998com13 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
10017, 99pm2.61i 174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
10110, 100syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
1029, 101sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≤ 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
103102expcom 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ≠ 0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
104103com23 83 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ≠ 0 → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
1058, 104sylbir 223 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = 0 → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
106105adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐾 = 0 ∧ ¬ 𝐾 = 2) → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
1077, 106sylbi 205 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
108107com13 85 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
1096, 108sylbid 228 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
110109com25 96 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
1111103ad2ant2 1075 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
112111expd 450 . . . . 5 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
1131, 112mpcom 37 . . . 4 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
114113impcom 444 . . 3 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
115114com14 93 . 2 (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
116 simprl 789 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝑉 FriendGrph 𝐸)
117 simpl 471 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
118117ad2antlr 758 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝑉 ∈ Fin)
119 simpr 475 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
120119ad2antlr 758 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝑉 ≠ ∅)
121 simpl 471 . . . . . 6 ((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < 𝐾)
122 simpr 475 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)
123121, 122anim12ci 588 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾))
124 frgrareggt1 26436 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
125124imp 443 . . . . 5 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾)) → 𝐾 = 2)
126116, 118, 120, 123, 125syl31anc 1320 . . . 4 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
127126olcd 406 . . 3 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
128127exp31 627 . 2 (1 < 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
129 2a1 28 . 2 ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
130115, 128, 129pm2.61ii 175 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wfal 1479  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  Vcvv 3172  c0 3873  cop 4130   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  cn 10869  2c2 10919  0cn0 11141  cz 11212  cuz 11521  #chash 12936   USGrph cusg 25652   VDeg cvdg 26213   RegUSGrph crusgra 26243   FriendGrph cfrgra 26308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-xadd 11781  df-ico 12010  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-mod 12488  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-word 13102  df-lsw 13103  df-concat 13104  df-s1 13105  df-substr 13106  df-reps 13109  df-csh 13334  df-s2 13392  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-sum 14213  df-dvds 14770  df-gcd 15003  df-prm 15172  df-phi 15257  df-usgra 25655  df-nbgra 25742  df-wlk 25829  df-trail 25830  df-pth 25831  df-spth 25832  df-wlkon 25835  df-spthon 25838  df-wwlk 26000  df-wwlkn 26001  df-clwwlk 26072  df-clwwlkn 26073  df-2wlkonot 26178  df-2spthonot 26180  df-2spthsot 26181  df-vdgr 26214  df-rgra 26244  df-rusgra 26245  df-frgra 26309
This theorem is referenced by:  frgraregord013  26438
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