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Theorem frgraregord013 26411
Description: If a finite friendship graph is k-regular, then it must have order 0, 1 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregord013 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))

Proof of Theorem frgraregord013
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12961 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
2 ax-1 6 . . . . . 6 (((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
3 3ioran 1048 . . . . . . 7 (¬ ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) ↔ (¬ (#‘𝑉) = 0 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 3))
4 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) ≠ 0 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 0)
5 hasheq0 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
65necon3bid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
76biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → 𝑉 ≠ ∅)
8 elnnne0 11153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
9 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 1)
10 eluz2b3 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1))
11 hash2prde 13061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
12 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 FriendGrph 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑏} FriendGrph 𝐸))
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑏} FriendGrph 𝐸))
14 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 𝑎 ∈ V
15 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 𝑏 ∈ V
1614, 15pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V))
1817anim1i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) ∧ 𝑎𝑏))
1918ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) ∧ 𝑎𝑏))
20 frgra2v 26292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) ∧ 𝑎𝑏) → ¬ {𝑎, 𝑏} FriendGrph 𝐸)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ¬ {𝑎, 𝑏} FriendGrph 𝐸)
2221pm2.21d 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ({𝑎, 𝑏} FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2313, 22sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2423com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2524exlimivv 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 2) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2726ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
2827com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
2928com14 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
31303imp 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
3231com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑉) = 2 → (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
33 rusgraprop 26222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾))
34 eluz2 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)))
35 1red 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
36 2re 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2 ∈ ℝ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 2 ∈ ℝ)
38 zre 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((#‘𝑉) ∈ ℤ → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
40 1lt2 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1 < 2
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < 2)
42 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 2 ≤ (#‘𝑉))
4335, 37, 39, 41, 42ltletrd 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
44433adant1 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
4534, 44sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (#‘𝑉))
4645anim2i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)))
4746ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)))
48 vdgn0frgrav2 26317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑣𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0))
4948impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (𝑣𝑉 → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0))
5049ralrimiv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0)
51 eqeq2 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝐾 = 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0))
5251ralbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0))
53 r19.26 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0))
54 nne 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 (¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ↔ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0)
5554bicomi 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0)
5655anbi1i 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ (¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0))
57 ancom 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ((¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0))
58 pm3.24 921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ¬ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0)
5958bifal 1487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ ⊥)
6056, 57, 593bitri 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ ⊥)
6160ralbii 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ ∀𝑣𝑉 ⊥)
62 r19.3rzv 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 (𝑉 ≠ ∅ → (⊥ ↔ ∀𝑣𝑉 ⊥))
63 falim 1488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 (⊥ → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
6462, 63syl6bir 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ⊥ → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6564adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ⊥ → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6665com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (∀𝑣𝑉 ⊥ → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6761, 66sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6853, 67sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6968ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
7052, 69syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
7170com4t 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
7247, 50, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
7372ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7473com25 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7574adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7675com15 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7776com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
78773ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7933, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
8079impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
8180impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
82 frrusgraord 26364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
8382imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝐾 = 2 → 𝐾 = 2)
85 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝐾 = 2 → (𝐾 − 1) = (2 − 1))
8684, 85oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝐾 = 2 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) = (2 · (2 − 1)))
8786oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐾 = 2 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = ((2 · (2 − 1)) + 1))
88 2m1e1 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (2 − 1) = 1
8988oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (2 · (2 − 1)) = (2 · 1)
90 2t1e2 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (2 · 1) = 2
9189, 90eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (2 · (2 − 1)) = 2
9291oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((2 · (2 − 1)) + 1) = (2 + 1)
93 2p1e3 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (2 + 1) = 3
9492, 93eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((2 · (2 − 1)) + 1) = 3
9587, 94syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐾 = 2 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = 3)
9695eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐾 = 2 → ((#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) ↔ (#‘𝑉) = 3))
97 pm2.21 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (¬ (#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
9897adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) → ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
9998adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
10099com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((#‘𝑉) = 3 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
10196, 100syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐾 = 2 → ((#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
10283, 101syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 2 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
103 frgrareg 26410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
104103imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
10581, 102, 104mpjaod 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
106105exp32 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
107106com34 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
108107com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
109108exp4c 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (¬ (#‘𝑉) = 2 → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
110109com34 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
111110com25 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
112111ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
113112com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
114113com14 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1151143imp 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
116115com3r 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (¬ (#‘𝑉) = 2 → (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
11732, 116pm2.61i 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
1181173exp 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
11910, 118sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
120119ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) ≠ 1 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1219, 120syl5bir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
122121com25 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1238, 122sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
124123ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))))
125124com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))))
126125impd 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
127126com14 93 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1287, 127mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
129128ex 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
130129com14 93 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1314, 130syl5bir 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
132131com24 92 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1331323imp 1248 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (¬ (#‘𝑉) = 0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
134133com25 96 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
135134imp 443 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
136135com14 93 . . . . . . . 8 (¬ (#‘𝑉) = 0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
1371363imp 1248 . . . . . . 7 ((¬ (#‘𝑉) = 0 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 3) → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
1383, 137sylbi 205 . . . . . 6 (¬ ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
1392, 138pm2.61i 174 . . . . 5 ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
1401393exp1 1274 . . . 4 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
1411, 140mpcom 37 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
142141com12 32 . 2 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
1431423imp 1248 1 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3o 1029  w3a 1030   = wceq 1474  wfal 1479  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  Vcvv 3172  c0 3873  {cpr 4126  cop 4130   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  #chash 12934   USGrph cusg 25625   VDeg cvdg 26186   RegUSGrph crusgra 26216   FriendGrph cfrgra 26281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-xadd 11779  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-word 13100  df-lsw 13101  df-concat 13102  df-s1 13103  df-substr 13104  df-reps 13107  df-csh 13332  df-s2 13390  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-phi 15255  df-usgra 25628  df-nbgra 25715  df-wlk 25802  df-trail 25803  df-pth 25804  df-spth 25805  df-wlkon 25808  df-spthon 25811  df-wwlk 25973  df-wwlkn 25974  df-clwwlk 26045  df-clwwlkn 26046  df-2wlkonot 26151  df-2spthonot 26153  df-2spthsot 26154  df-vdgr 26187  df-rgra 26217  df-rusgra 26218  df-frgra 26282
This theorem is referenced by:  frgraregord13  26412
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