MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrawopreglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrawopreglem2 26338
Description: Lemma 2 for frgrawopreg 26342. In a friendship graph with at least two vertices, the degree of a vertex must be at least 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾}
frgrawopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem2 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1 < 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem frgrawopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 3889 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 frgrawopreg.a . . . . . . 7 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾}
32rabeq2i 3169 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑉 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾))
43exbii 1763 . . . . 5 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾))
5 vdgfrgragt2 26320 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑥𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥)))
6 frisusgra 26285 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 USGrph 𝐸)
7 vdgrnn0pnf 26202 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑥𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
86, 7sylan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑥𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
9 elun 3714 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ {+∞}))
10 2z 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
11 nn0z 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
12 zlem1lt 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝐾 ↔ (2 − 1) < 𝐾))
1310, 11, 12sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝐾 ↔ (2 − 1) < 𝐾))
14 2m1e1 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 − 1) = 1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
1615breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) < 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
1713, 16bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
1817biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾))
19 elsni 4141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ {+∞} → 𝐾 = +∞)
20 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
21 ltpnf 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < +∞
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 = +∞ → 𝐾 = +∞)
2422, 23syl5breqr 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = +∞ → 1 < 𝐾)
2524a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 = +∞ → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾))
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ {+∞} → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾))
2718, 26jaoi 392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ {+∞}) → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾))
289, 27sylbi 205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾))
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → (𝐾 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾)))
30 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ 𝐾 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})))
31 breq2 4581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → (2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ↔ 2 ≤ 𝐾))
3231imbi1d 329 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → ((2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) → 1 < 𝐾) ↔ (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾)))
3329, 30, 323imtr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → (2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) → 1 < 𝐾)))
3433com13 85 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → 1 < 𝐾)))
355, 8, 34syl6ci 68 . . . . . . . . 9 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑥𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → 1 < 𝐾)))
3635expcom 449 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (1 < (#‘𝑉) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → 1 < 𝐾))))
3736com24 92 . . . . . . 7 (𝑥𝑉 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 1 < 𝐾))))
3837imp 443 . . . . . 6 ((𝑥𝑉 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾) → (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 1 < 𝐾)))
3938exlimiv 1844 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾) → (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 1 < 𝐾)))
404, 39sylbi 205 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 1 < 𝐾)))
411, 40sylbi 205 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 1 < 𝐾)))
4241com13 85 . 2 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (1 < (#‘𝑉) → (𝐴 ≠ ∅ → 1 < 𝐾)))
43423imp 1248 1 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1 < 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  {crab 2899  cdif 3536  cun 3537  c0 3873  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  1c1 9793  +∞cpnf 9927   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  2c2 10917  0cn0 11139  cz 11210  #chash 12934   USGrph cusg 25625   VDeg cvdg 26186   FriendGrph cfrgra 26281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-xadd 11779  df-fz 12153  df-hash 12935  df-usgra 25628  df-vdgr 26187  df-frgra 26282
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator