MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgregordn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgregordn0 26358
Description: If a nonempty friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgregordn0 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem frgregordn0
StepHypRef Expression
1 frisusgra 26280 . . . . 5 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 USGrph 𝐸)
2 usgreghash2spot 26357 . . . . 5 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
31, 2syl3an1 1350 . . . 4 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
43imp 443 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
5 frghash2spot 26351 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
653impb 1251 . . . . 5 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
76adantr 479 . . . 4 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
8 eqeq1 2608 . . . . . 6 ((#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → ((#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
9 hashcl 12956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11195 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
11 1cnd 9907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ Fin → 1 ∈ ℂ)
1210, 11subcld 10238 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
13123ad2ant2 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
1413adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
15 usgfiregdegfi 26199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
161, 15syl3an1 1350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
1716imp 443 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18 nn0cn 11144 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
19 kcnktkm1cn 10307 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
21103ad2ant2 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
2221adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
23 hasheq0 12962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
2423biimpd 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅))
2524necon3d 2797 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (#‘𝑉) ≠ 0))
2625imp 443 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ≠ 0)
27263adant1 1071 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ≠ 0)
2827adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) ≠ 0)
2914, 20, 22, 28mulcand 10504 . . . . . . . 8 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
30 1cnd 9907 . . . . . . . . 9 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
31 subadd2 10131 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = (#‘𝑉)))
32 eqcom 2611 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = (#‘𝑉) ↔ (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
3331, 32syl6bb 274 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
3433biimpd 217 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
3522, 30, 20, 34syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
3629, 35sylbid 228 . . . . . . 7 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
3736com12 32 . . . . . 6 (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
388, 37syl6bi 241 . . . . 5 ((#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → ((#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
3938com23 83 . . . 4 ((#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
407, 39mpcom 37 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘(𝑉 2SPathsOt 𝐸)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
414, 40mpd 15 . 2 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
4241ex 448 1 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  wral 2890  c0 3868   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  Fincfn 7813  cc 9785  0cc0 9787  1c1 9788   + caddc 9790   · cmul 9792  cmin 10112  0cn0 11134  #chash 12929   USGrph cusg 25620   2SPathsOt c2spthot 26144   VDeg cvdg 26181   FriendGrph cfrgra 26276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-ot 4128  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-disj 4543  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-sup 8203  df-oi 8270  df-card 8620  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-rp 11660  df-xadd 11774  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-seq 12614  df-exp 12673  df-hash 12930  df-word 13095  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-clim 14008  df-sum 14206  df-usgra 25623  df-nbgra 25710  df-wlk 25797  df-trail 25798  df-pth 25799  df-spth 25800  df-wlkon 25803  df-spthon 25806  df-2wlkonot 26146  df-2spthonot 26148  df-2spthsot 26149  df-vdgr 26182  df-frgra 26277
This theorem is referenced by:  frrusgraord  26359
  Copyright terms: Public domain W3C validator