MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrogt3nreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrogt3nreg 27225
Description: If a finite friendship graph has an order greater than 3, it cannot be 𝑘-regular for any 𝑘. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrogt3nreg ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Proof of Theorem frgrogt3nreg
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 hashcl 13130 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
4 0red 10026 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
5 3re 11079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
7 nn0re 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
84, 6, 73jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ))
98adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ))
10 3pos 11099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 3
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < 3)
12 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 3 < (#‘𝑉))
13 lttr 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) → ((0 < 3 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < (#‘𝑉)))
1413imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (0 < 3 ∧ 3 < (#‘𝑉))) → 0 < (#‘𝑉))
159, 11, 12, 14syl12anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < (#‘𝑉))
1615ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → 0 < (#‘𝑉)))
17 ltne 10119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 0)
184, 16, 17syl6an 567 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (#‘𝑉) ≠ 0))
19 hasheq0 13137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
2019necon3bid 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
2120biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅))
2218, 21syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅)))
2322com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
243, 23mpcom 38 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅))
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
26253imp 1254 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝑉 ≠ ∅)
271, 2, 263jca 1240 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
2827ad2antrl 763 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
29 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
30 frgrreggt1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3130frgrregord13 27224 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝑘) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
3228, 29, 31syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
33 1red 10040 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 3 ∈ ℝ)
357adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
36 1lt3 11181 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 3
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 < 3)
3833, 34, 35, 37, 12lttrd 10183 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
3933, 38gtned 10157 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 1)
40 eqneqall 2802 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ≠ 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4139, 40syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ((#‘𝑉) = 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
42 ltne 10119 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℝ ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 3)
436, 42sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 3)
44 eqneqall 2802 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) ≠ 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4543, 44syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ((#‘𝑉) = 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4641, 45jaod 395 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4746ex 450 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
483, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))))
50493imp 1254 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
5150ad2antrl 763 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
5232, 51mpd 15 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
5352ex 450 . . 3 (𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
54 ax-1 6 . . 3 𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
5553, 54pm2.61i 176 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
5655ralrimiva 2963 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  c0 3907   class class class wbr 4644  cfv 5876  Fincfn 7940  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   < clt 10059  3c3 11056  0cn0 11277  #chash 13100  Vtxcvtx 25855   RegUSGraph crusgr 26433   FriendGraph cfrgr 27100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-ac2 9270  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-ec 7729  df-qs 7733  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-ac 8924  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-xadd 11932  df-ico 12166  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-word 13282  df-lsw 13283  df-concat 13284  df-s1 13285  df-substr 13286  df-reps 13289  df-csh 13516  df-s2 13574  df-s3 13575  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-phi 15452  df-vtx 25857  df-iedg 25858  df-edg 25921  df-uhgr 25934  df-ushgr 25935  df-upgr 25958  df-umgr 25959  df-uspgr 26026  df-usgr 26027  df-fusgr 26190  df-nbgr 26209  df-vtxdg 26343  df-rgr 26434  df-rusgr 26435  df-wlks 26476  df-wlkson 26477  df-trls 26570  df-trlson 26571  df-pths 26593  df-spths 26594  df-pthson 26595  df-spthson 26596  df-wwlks 26703  df-wwlksn 26704  df-wwlksnon 26705  df-wspthsn 26706  df-wspthsnon 26707  df-clwwlks 26858  df-clwwlksn 26859  df-conngr 27027  df-frgr 27101
This theorem is referenced by:  friendshipgt3  27226
  Copyright terms: Public domain W3C validator