MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrogt3nreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrogt3nreg 28103
Description: If a finite friendship graph has an order greater than 3, it cannot be 𝑘-regular for any 𝑘. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrogt3nreg ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Proof of Theorem frgrogt3nreg
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simp2 1129 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 hashcl 13705 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
4 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
5 3re 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
7 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
84, 6, 73jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ))
98adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ))
10 3pos 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 3
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < 3)
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 3 < (♯‘𝑉))
13 lttr 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ) → ((0 < 3 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉)))
1413imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (0 < 3 ∧ 3 < (♯‘𝑉))) → 0 < (♯‘𝑉))
159, 11, 12, 14syl12anc 832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉))
1615ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → 0 < (♯‘𝑉)))
17 ltne 10725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
184, 16, 17syl6an 680 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 0))
19 hasheq0 13712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
2019necon3bid 3057 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
2120biimpcd 250 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅))
2218, 21syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅)))
2322com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
243, 23mpcom 38 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅))
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
26253imp 1103 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝑉 ≠ ∅)
271, 2, 263jca 1120 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
2827ad2antrl 724 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
29 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
30 frgrreggt1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3130frgrregord13 28102 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝑘) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
3228, 29, 31syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
33 1red 10630 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 3 ∈ ℝ)
357adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
36 1lt3 11798 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 3
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 < 3)
3833, 34, 35, 37, 12lttrd 10789 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
3933, 38gtned 10763 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 1)
40 eqneqall 3024 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) ≠ 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4139, 40syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ((♯‘𝑉) = 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
42 ltne 10725 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℝ ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 3)
436, 42sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 3)
44 eqneqall 3024 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) ≠ 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4543, 44syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ((♯‘𝑉) = 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4641, 45jaod 853 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4746ex 413 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
483, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))))
50493imp 1103 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
5150ad2antrl 724 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
5232, 51mpd 15 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
5352ex 413 . . 3 (𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
54 ax-1 6 . . 3 𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
5553, 54pm2.61i 183 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
5655ralrimiva 3179 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  Fincfn 8497  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  3c3 11681  0cn0 11885  chash 13678  Vtxcvtx 26708   RegUSGraph crusgr 27265   FriendGraph cfrgr 27964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-ifp 1055  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-word 13850  df-lsw 13903  df-concat 13911  df-s1 13938  df-substr 13991  df-pfx 14021  df-reps 14119  df-csh 14139  df-s2 14198  df-s3 14199  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-phi 16091  df-vtx 26710  df-iedg 26711  df-edg 26760  df-uhgr 26770  df-ushgr 26771  df-upgr 26794  df-umgr 26795  df-uspgr 26862  df-usgr 26863  df-fusgr 27026  df-nbgr 27042  df-vtxdg 27175  df-rgr 27266  df-rusgr 27267  df-wlks 27308  df-wlkson 27309  df-trls 27401  df-trlson 27402  df-pths 27424  df-spths 27425  df-pthson 27426  df-spthson 27427  df-wwlks 27535  df-wwlksn 27536  df-wwlksnon 27537  df-wspthsn 27538  df-wspthsnon 27539  df-clwwlk 27687  df-clwwlkn 27730  df-clwwlknon 27794  df-conngr 27893  df-frgr 27965
This theorem is referenced by:  friendshipgt3  28104
  Copyright terms: Public domain W3C validator