Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregord13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregord13 27142
 Description: If a nonempty finite friendship graph is 𝐾-regular, then it must have order 1 or 3. Special case of frgrregord013 27141. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrregord13 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))

Proof of Theorem frgrregord13
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simpl2 1063 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝑉 ∈ Fin)
3 simpr 477 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
4 frgrreggt1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54frgrregord013 27141 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
61, 2, 3, 5syl3anc 1323 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
7 hasheq0 13110 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8 eqneqall 2801 . . . . . . . . 9 (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
97, 8syl6bi 243 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
109com23 86 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
12113imp 1254 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
1312adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
1413com12 32 . . 3 ((#‘𝑉) = 0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
15 orc 400 . . . 4 ((#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
1615a1d 25 . . 3 ((#‘𝑉) = 1 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
17 olc 399 . . . 4 ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
1817a1d 25 . . 3 ((#‘𝑉) = 3 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
1914, 16, 183jaoi 1388 . 2 (((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
206, 19mpcom 38 1 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1035   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∅c0 3897   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  Fincfn 7915  0cc0 9896  1c1 9897  3c3 11031  #chash 13073  Vtxcvtx 25808   RegUSGraph crusgr 26356   FriendGraph cfrgr 27020 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-ac2 9245  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-disj 4594  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-ec 7704  df-qs 7708  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-ac 8899  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-xadd 11907  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-concat 13256  df-s1 13257  df-substr 13258  df-reps 13261  df-csh 13488  df-s2 13546  df-s3 13547  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-phi 15414  df-vtx 25810  df-iedg 25811  df-edg 25874  df-uhgr 25883  df-ushgr 25884  df-upgr 25907  df-umgr 25908  df-uspgr 25972  df-usgr 25973  df-fusgr 26131  df-nbgr 26149  df-vtxdg 26283  df-rgr 26357  df-rusgr 26358  df-wlks 26399  df-wlkson 26400  df-trls 26492  df-trlson 26493  df-pths 26515  df-spths 26516  df-pthson 26517  df-spthson 26518  df-wwlks 26625  df-wwlksn 26626  df-wwlksnon 26627  df-wspthsn 26628  df-wspthsnon 26629  df-clwwlks 26778  df-clwwlksn 26779  df-conngr 26947  df-frgr 27021 This theorem is referenced by:  frgrogt3nreg  27143
 Copyright terms: Public domain W3C validator