Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgrregorufr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregorufr 41512
Description: If there is a vertex having degree 𝐾 for each (nonnegative integer) 𝐾 in a friendship graph, then either all vertices have degree 𝐾 or there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrregorufr0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrregorufr0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrregorufr0.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrregorufr (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐷,𝑤   𝑣,𝐸   𝑤,𝐺   𝑣,𝐾,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤   𝐷,𝑎,𝑣   𝐸,𝑎   𝐾,𝑎   𝑉,𝑎,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤)   𝐺(𝑣,𝑎)

Proof of Theorem frgrregorufr
StepHypRef Expression
1 frgrregorufr0.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrregorufr0.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 frgrregorufr0.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3frgrregorufr0 41511 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
5 orc 398 . . . 4 (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
65a1d 25 . . 3 (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
7 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑎 → (𝐷𝑣) = (𝐷𝑎))
87neeq1d 2840 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑎 → ((𝐷𝑣) ≠ 𝐾 ↔ (𝐷𝑎) ≠ 𝐾))
98rspcva 3279 . . . . . 6 ((𝑎𝑉 ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾) → (𝐷𝑎) ≠ 𝐾)
10 df-ne 2781 . . . . . . 7 ((𝐷𝑎) ≠ 𝐾 ↔ ¬ (𝐷𝑎) = 𝐾)
11 pm2.21 118 . . . . . . 7 (¬ (𝐷𝑎) = 𝐾 → ((𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1210, 11sylbi 205 . . . . . 6 ((𝐷𝑎) ≠ 𝐾 → ((𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
139, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑎𝑉 ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾) → ((𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1413ancoms 467 . . . 4 ((∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾𝑎𝑉) → ((𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1514rexlimdva 3012 . . 3 (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾 → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
16 olc 397 . . . 4 (∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
1716a1d 25 . . 3 (∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
186, 15, 173jaoi 1382 . 2 ((∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸) → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
194, 18syl 17 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382  w3o 1029   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  cdif 3536  {csn 4124  {cpr 4126  cfv 5790  Vtxcvtx 40251  Edgcedga 40373  VtxDegcvtxdg 40703   FriendGraph cfrgr 41450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-xadd 11782  df-fz 12156  df-hash 12938  df-xnn0 40220  df-uhgr 40302  df-ushgr 40303  df-upgr 40330  df-umgr 40331  df-edga 40374  df-uspgr 40402  df-usgr 40403  df-nbgr 40576  df-vtxdg 40704  df-frgr 41451
This theorem is referenced by:  frgrregorufrg  41527
  Copyright terms: Public domain W3C validator