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Theorem frgrwopreg 27044
Description: In a friendship graph there are either no vertices or exactly one vertex having degree K, or all or all except one vertices have degree K. TODO-AV: proof can be shortened by using bj-mp2d 32171 after it is moved to main set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreg (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸

Proof of Theorem frgrwopreg
Dummy variables 𝑏 𝑦 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . 3 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . 3 𝐵 = (𝑉𝐴)
51, 2, 3, 4frgrwopreglem1 27039 . 2 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
6 hashv01gt1 13073 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)))
7 hashv01gt1 13073 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)))
86, 7anim12i 589 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)) ∧ ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵))))
9 hasheq0 13094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ V → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
109biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ V → ((#‘𝐴) = 0 → 𝐴 = ∅))
1110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((#‘𝐴) = 0 → 𝐴 = ∅))
1211impcom 446 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → 𝐴 = ∅)
1312olcd 408 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → ((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅))
1413orcd 407 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
1514a1d 25 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
1615ex 450 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 0 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
1716a1d 25 . . . . 5 ((#‘𝐴) = 0 → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
18 orc 400 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅))
1918orcd 407 . . . . . . . 8 ((#‘𝐴) = 1 → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
2019a1d 25 . . . . . . 7 ((#‘𝐴) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
2120a1d 25 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 1 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
2221a1d 25 . . . . 5 ((#‘𝐴) = 1 → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
23 hasheq0 13094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
2423biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 → 𝐵 = ∅))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((#‘𝐵) = 0 → 𝐵 = ∅))
2625impcom 446 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → 𝐵 = ∅)
2726olcd 408 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))
2827olcd 408 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
2928a1d 25 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
3029ex 450 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) = 0 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
3130a1d 25 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) = 0 → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
32 orc 400 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) = 1 → ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))
3332olcd 408 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐵) = 1 → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
3433a1d 25 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐵) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
3534a1d 25 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) = 1 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
3635a1d 25 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) = 1 → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
37 frgrwopreg.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (Edg‘𝐺)
381, 2, 3, 4, 37frgrwopreglem5 27043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
39383expb 1263 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵))) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
40 frgrusgr 26990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
41 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ USGraph )
42 elrabi 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾} → 𝑎𝑉)
4342, 3eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎𝐴𝑎𝑉)
4443ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → 𝑎𝑉)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑎𝑉)
463rabeq2i 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾))
4746simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐴𝑥𝑉)
4847ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → 𝑥𝑉)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝑉)
50 simpr1r 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) → 𝑎𝑥)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → 𝑎𝑥)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑎𝑥)
5345, 49, 523jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝑎𝑉𝑥𝑉𝑎𝑥))
544eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏𝐵𝑏 ∈ (𝑉𝐴))
55 eldif 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 ∈ (𝑉𝐴) ↔ (𝑏𝑉 ∧ ¬ 𝑏𝐴))
5654, 55bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝐵 ↔ (𝑏𝑉 ∧ ¬ 𝑏𝐴))
5756simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏𝐵𝑏𝑉)
5857ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑏𝑉)
594eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝑉𝐴))
60 eldif 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (𝑉𝐴) ↔ (𝑦𝑉 ∧ ¬ 𝑦𝐴))
6159, 60bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝐵 ↔ (𝑦𝑉 ∧ ¬ 𝑦𝐴))
6261simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝐵𝑦𝑉)
6362ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝑉)
64 simpr1l 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) → 𝑏𝑦)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → 𝑏𝑦)
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑏𝑦)
6758, 63, 663jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝑉𝑦𝑉𝑏𝑦))
68 prcom 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {𝑥, 𝑏} = {𝑏, 𝑥}
6968eleq1i 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
7069biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
7170anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
72 prcom 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 {𝑎, 𝑦} = {𝑦, 𝑎}
7372eleq1i 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
7473biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
7574anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
7675ancomd 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
7771, 76anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
78773adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
7978ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
801, 374cyclusnfrgr 27020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑎𝑉𝑥𝑉𝑎𝑥) ∧ (𝑏𝑉𝑦𝑉𝑏𝑦)) → ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∉ FriendGraph ))
8180imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑎𝑉𝑥𝑉𝑎𝑥) ∧ (𝑏𝑉𝑦𝑉𝑏𝑦)) ∧ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
8241, 53, 67, 79, 81syl31anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
83 df-nel 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
8482, 83sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
8584pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
8685exp41 637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ USGraph → (((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → ((𝑏𝐵𝑦𝐵) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))))
8786com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → ((𝑏𝐵𝑦𝐵) → (((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))))
8840, 87mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → ((𝑏𝐵𝑦𝐵) → (((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
8988imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → ((𝑏𝐵𝑦𝐵) → (((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
9089rexlimdvv 3030 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
9190rexlimdvva 3031 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
9291adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵))) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
9339, 92mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵))) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
9493expcom 451 . . . . . . . . 9 ((1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
9594a1d 25 . . . . . . . 8 ((1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
9695expcom 451 . . . . . . 7 (1 < (#‘𝐵) → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
9731, 36, 963jaoi 1388 . . . . . 6 (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
9897com12 32 . . . . 5 (1 < (#‘𝐴) → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
9917, 22, 983jaoi 1388 . . . 4 (((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)) → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
10099imp 445 . . 3 ((((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)) ∧ ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵))) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
1018, 100mpcom 38 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
1025, 101ax-mp 5 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wnel 2893  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  c0 3891  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cfv 5847  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018  #chash 13057  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839   USGraph cusgr 25937  VtxDegcvtxdg 26248   FriendGraph cfrgr 26986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-fz 12269  df-hash 13058  df-edg 25840  df-uhgr 25849  df-ushgr 25850  df-upgr 25873  df-umgr 25874  df-uspgr 25938  df-usgr 25939  df-nbgr 26115  df-vtxdg 26249  df-frgr 26987
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