MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopregbsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopregbsn 27467
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg2 27469 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopregbsn ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregbsn
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . . 4 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . 4 𝐵 = (𝑉𝐴)
5 frgrwopreg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5frgrwopreglem4 27465 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤𝐴𝑣𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
7 ralcom 3232 . . . 4 (∀𝑤𝐴𝑣𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
8 snidg 4347 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑋 ∈ {𝑋})
98adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
10 eleq2 2824 . . . . . . . 8 (𝐵 = {𝑋} → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {𝑋}))
1110adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {𝑋}))
129, 11mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → 𝑋𝐵)
13 preq2 4409 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑤, 𝑋})
14 prcom 4407 . . . . . . . . . 10 {𝑤, 𝑋} = {𝑋, 𝑤}
1513, 14syl6eq 2806 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑋, 𝑤})
1615eleq1d 2820 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1716ralbidv 3120 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1817rspcv 3441 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1912, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
203ssrab3 3825 . . . . . . . 8 𝐴𝑉
21 ssdifim 4001 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵 = (𝑉𝐴)) → 𝐴 = (𝑉𝐵))
2220, 4, 21mp2an 710 . . . . . . 7 𝐴 = (𝑉𝐵)
23 difeq2 3861 . . . . . . . 8 (𝐵 = {𝑋} → (𝑉𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2423adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (𝑉𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2522, 24syl5eq 2802 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2625raleqdv 3279 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
2719, 26sylibd 229 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
287, 27syl5bi 232 . . 3 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤𝐴𝑣𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
296, 28syl5com 31 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
30293impib 1109 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wral 3046  {crab 3050  cdif 3708  wss 3711  {csn 4317  {cpr 4319  cfv 6045  Vtxcvtx 26069  Edgcedg 26134  VtxDegcvtxdg 26567   FriendGraph cfrgr 27406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-uz 11876  df-xadd 12136  df-fz 12516  df-hash 13308  df-edg 26135  df-uhgr 26148  df-ushgr 26149  df-upgr 26172  df-umgr 26173  df-uspgr 26240  df-usgr 26241  df-nbgr 26420  df-vtxdg 26568  df-frgr 27407
This theorem is referenced by:  frgrwopreg2  27469
  Copyright terms: Public domain W3C validator