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Theorem frgrwopreglem5 41487
Description: Lemma 5 for frgrwopreg 41488. If A as well as B contain at least two vertices in a friendship graph, there is a 4-cycle in the graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑦,𝐷   𝐺,𝑎,𝑏,𝑦,𝑥   𝑦,𝑉   𝐴,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝐸,𝑏,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑎)   𝐾(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5
Dummy variables 𝑐 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . . 4 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . 4 𝐵 = (𝑉𝐴)
51, 2, 3, 4frgrwopreglem1 41483 . . 3 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
6 hashgt12el 13022 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (#‘𝐴)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥)
76ad4ant14 1284 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 1 < (#‘𝐵)) ∧ 1 < (#‘𝐴)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥)
8 hashgt12el 13022 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦)
98ad4ant23 1288 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 1 < (#‘𝐵)) ∧ 1 < (#‘𝐴)) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦)
10 reeanv 3085 . . . . . . 7 (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 (∃𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑏𝑦) ↔ (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦))
11 reeanv 3085 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑎𝑥𝑏𝑦) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑏𝑦))
12112rexbii 3023 . . . . . . . 8 (∃𝑎𝐴𝑏𝐵𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑎𝑥𝑏𝑦) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 (∃𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑏𝑦))
13 rexcom 3079 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑏𝐵𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑎𝑥𝑏𝑦) ↔ ∃𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎𝑥𝑏𝑦))
14 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑎𝑥𝑏𝑦)) → (𝑎𝑥𝑏𝑦))
1514ancomd 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑎𝑥𝑏𝑦)) → (𝑏𝑦𝑎𝑥))
16 frgrwopreg.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐸 = (Edg‘𝐺)
171, 2, 3, 4, 16frgrwopreglem4 41486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
18 rsp2 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
2019expdimp 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) → (𝑏𝐵 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑏𝐵 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
2221imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
241, 2, 3, 4, 16frgrwopreglem4 41486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑧𝐴𝑐𝐵 {𝑧, 𝑐} ∈ 𝐸)
25 preq1 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑥 → {𝑧, 𝑐} = {𝑥, 𝑐})
2625eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑥 → ({𝑧, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸))
27 preq2 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 = 𝑏 → {𝑥, 𝑐} = {𝑥, 𝑏})
2827eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = 𝑏 → ({𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2926, 28cbvral2v 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑧𝐴𝑐𝐵 {𝑧, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑥𝐴𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
30 rsp2 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑥𝐴𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
3129, 30sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑧𝐴𝑐𝐵 {𝑧, 𝑐} ∈ 𝐸 → ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
3332expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑥𝐴 → (𝑏𝐵 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)))
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝑏𝐵 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)))
3534imp31 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
3723, 36jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑎𝑥𝑏𝑦)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
391, 2, 3, 4, 16frgrwopreglem4 41486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝐴𝑦𝐵 {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸)
40 rsp2 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑎𝐴𝑦𝐵 {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 → ((𝑎𝐴𝑦𝐵) → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑎𝐴𝑦𝐵) → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4241expdimp 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) → (𝑦𝐵 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4342ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑦𝐵 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4443imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸)
45 preq2 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 = 𝑦 → {𝑥, 𝑐} = {𝑥, 𝑦})
4645eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
4726, 46cbvral2v 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑧𝐴𝑐𝐵 {𝑧, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
48 rsp2 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
4947, 48sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑧𝐴𝑐𝐵 {𝑧, 𝑐} ∈ 𝐸 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
5024, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
5150expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑥𝐴 → (𝑦𝐵 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
5251adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝑦𝐵 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
5352imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
5453adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑦𝐵 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
5554imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
5644, 55jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
5756adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑎𝑥𝑏𝑦)) → ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
5815, 38, 573jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑎𝑥𝑏𝑦)) → ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
5958ex 448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) → ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))
6059reximdva 2999 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (∃𝑦𝐵 (𝑎𝑥𝑏𝑦) → ∃𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))
6160reximdva 2999 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎𝑥𝑏𝑦) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))
6261reximdva 2999 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) → (∃𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎𝑥𝑏𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))
6313, 62syl5bi 230 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑎𝑥𝑏𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))
6463reximdva 2999 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑎𝑥𝑏𝑦) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))
6564com12 32 . . . . . . . 8 (∃𝑎𝐴𝑏𝐵𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑎𝑥𝑏𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))
6612, 65sylbir 223 . . . . . . 7 (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 (∃𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑏𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))
6710, 66sylbir 223 . . . . . 6 ((∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))
687, 9, 67syl2anc 690 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 1 < (#‘𝐵)) ∧ 1 < (#‘𝐴)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))
6968exp31 627 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (1 < (#‘𝐵) → (1 < (#‘𝐴) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))))
7069com24 92 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (1 < (#‘𝐴) → (1 < (#‘𝐵) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))))))
715, 70ax-mp 5 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → (1 < (#‘𝐴) → (1 < (#‘𝐵) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))))
72713imp 1248 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  Vcvv 3172  cdif 3536  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cfv 5790  1c1 9793   < clt 9930  #chash 12934  Vtxcvtx 40231  Edgcedga 40353  VtxDegcvtxdg 40683   FriendGraph cfrgr 41430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-xadd 11779  df-fz 12153  df-hash 12935  df-xnn0 40200  df-uhgr 40282  df-ushgr 40283  df-upgr 40310  df-umgr 40311  df-edga 40354  df-uspgr 40382  df-usgr 40383  df-nbgr 40556  df-vtxdg 40684  df-frgr 41431
This theorem is referenced by:  frgrwopreg  41488
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