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Theorem frgrwopreglem5ALT 27472
Description: Alternate direct proof of frgrwopreglem5 27471, not using frgrwopreglem5a 27461. This proof would be even a little bit shorter than the proof of frgrwopreglem5 27471 without using frgrwopreglem5lem 27470. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem5ALT ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝑦,𝐷   𝐺,𝑎,𝑏,𝑦,𝑥   𝑦,𝑉   𝐴,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝐸,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5ALT
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑎𝑥)
21anim1i 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → (𝑎𝑥𝑏𝑦))
3 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5 frgrwopreg.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
6 frgrwopreg.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (𝑉𝐴)
7 frgrwopreg.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (Edg‘𝐺)
83, 4, 5, 6, 7frgrwopreglem4 27465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸)
9 preq1 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑎 → {𝑧, 𝑏} = {𝑎, 𝑏})
109eleq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑎 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1110ralbidv 3120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑎 → (∀𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1211cbvralv 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
13 rsp2 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1413com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1514ad2ant2r 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1612, 15syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1716imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
18 prcom 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑏, 𝑥} = {𝑥, 𝑏}
19 preq1 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 𝑥 → {𝑧, 𝑏} = {𝑥, 𝑏})
2019eleq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑥 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2120ralbidv 3120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2221cbvralv 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑥𝐴𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
23 rsp2 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑥𝐴𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2422, 23sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2625ad2ant2lr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2726imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
2818, 27syl5eqel 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
2917, 28jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
3029expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
318, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
3332impl 651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
35 preq2 4409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → {𝑥, 𝑏} = {𝑥, 𝑦})
3635eleq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
3720, 36rspc2v 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
3837ad2ant2l 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
3938impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
40 prcom 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦, 𝑎} = {𝑎, 𝑦}
41 preq2 4409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → {𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑦})
4241eleq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4310, 42rspc2v 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎𝐴𝑦𝐵) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4443ad2ant2rl 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4544impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸)
4640, 45syl5eqel 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
4739, 46jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
4847ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
498, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
5150impl 651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
532, 34, 523jca 1123 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
5453ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝑦 → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
5554reximdvva 3153 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
5655exp31 631 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑎𝑥 → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
5756com24 95 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → (𝑎𝑥 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
5857imp31 447 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (𝑎𝑥 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
5958reximdvva 3153 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
6059ex 449 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
6160com13 88 . . . 4 (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
6261imp 444 . . 3 ((∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
633, 4, 5, 6frgrwopreglem1 27462 . . . 4 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
64 hashgt12el 13398 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥)
6564ex 449 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (1 < (♯‘𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥))
66 hashgt12el 13398 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦)
6766ex 449 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦))
6865, 67im2anan9 916 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦)))
6963, 68ax-mp 5 . . 3 ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦))
7062, 69syl11 33 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
71703impib 1109 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wral 3046  wrex 3047  {crab 3050  Vcvv 3336  cdif 3708  {cpr 4319   class class class wbr 4800  cfv 6045  1c1 10125   < clt 10262  chash 13307  Vtxcvtx 26069  Edgcedg 26134  VtxDegcvtxdg 26567   FriendGraph cfrgr 27406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-uz 11876  df-xadd 12136  df-fz 12516  df-hash 13308  df-edg 26135  df-uhgr 26148  df-ushgr 26149  df-upgr 26172  df-umgr 26173  df-uspgr 26240  df-usgr 26241  df-nbgr 26420  df-vtxdg 26568  df-frgr 27407
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