MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlm0 19855
Description: Zero in a free module (ring constraint is stronger than necessary, but allows use of frlmlss 19852). (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlm0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
frlm0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g𝐹))

Proof of Theorem frlm0
StepHypRef Expression
1 rlmlmod 18968 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2 eqid 2605 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
32pwslmod 18733 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
41, 3sylan 486 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
5 frlmval.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6 eqid 2605 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
7 eqid 2605 . . . . 5 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
85, 6, 7frlmlss 19852 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘𝐹) ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
97lsssubg 18720 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ (Base‘𝐹) ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
104, 8, 9syl2anc 690 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
11 eqid 2605 . . . 4 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))
12 eqid 2605 . . . 4 (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
1311, 12subg0 17365 . . 3 ((Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
1410, 13syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
15 lmodgrp 18635 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
16 grpmnd 17194 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
171, 15, 163syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
18 frlm0.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
19 rlm0 18960 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
2018, 19eqtri 2627 . . . 4 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
212, 20pws0g 17091 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2217, 21sylan 486 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
235, 6frlmpws 19851 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)))
2423fveq2d 6088 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (0g𝐹) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
2514, 22, 243eqtr4d 2649 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐼 × { 0 }) = (0g𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  {csn 4120   × cxp 5022  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  s cress 15638  0gc0g 15865  s cpws 15872  Mndcmnd 17059  Grpcgrp 17187  SubGrpcsubg 17353  Ringcrg 18312  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  ringLModcrglmod 18932   freeLMod cfrlm 19847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-hom 15735  df-cco 15736  df-0g 15867  df-prds 15873  df-pws 15875  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-dsmm 19833  df-frlm 19848
This theorem is referenced by:  frlmsslss  19870  islindf5  19935  mat0op  19982  rrxcph  22901  matunitlindflem1  32374  zlmodzxz0  41925  aacllem  42315
  Copyright terms: Public domain W3C validator