Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmgsum 20092
 Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmgsum.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmgsum.z 0 = (0g𝑌)
frlmgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
frlmgsum.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵)
frlmgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
frlmgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum
StepHypRef Expression
1 frlmgsum.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 frlmgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 frlmgsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmgsum.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
53, 4frlmpws 20075 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
61, 2, 5syl2anc 692 . . 3 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
76oveq1d 6650 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
8 eqid 2620 . . 3 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
9 eqid 2620 . . 3 (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10 eqid 2620 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
11 ovexd 6665 . . 3 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V)
12 frlmgsum.j . . 3 (𝜑𝐽𝑊)
13 eqid 2620 . . . . . 6 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
143, 4, 13frlmlss 20076 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
151, 2, 14syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
168, 13lssss 18918 . . . 4 (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18 frlmgsum.f . . . 4 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵)
19 eqid 2620 . . . 4 (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))
2018, 19fmptd 6371 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽𝐵)
21 rlmlmod 19186 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
221, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
23 eqid 2620 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
2423pwslmod 18951 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
2522, 2, 24syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
26 eqid 2620 . . . . 5 (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
2726, 13lss0cl 18928 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
2825, 15, 27syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
29 lmodcmn 18892 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
3022, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
31 cmnmnd 18189 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
3323pwsmnd 17306 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
3432, 2, 33syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
358, 9, 26mndlrid 17291 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
3634, 35sylan 488 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
378, 9, 10, 11, 12, 17, 20, 28, 36gsumress 17257 . 2 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
38 rlmbas 19176 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
392adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
40 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
413, 40, 4frlmbasf 20085 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4239, 18, 41syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
43 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼𝑈) = (𝑥𝐼𝑈)
4443fmpt 6367 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 𝑈 ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4542, 44sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → ∀𝑥𝐼 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4645r19.21bi 2929 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4746an32s 845 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4847anasss 678 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
49 frlmgsum.w . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
50 frlmgsum.z . . . . . 6 0 = (0g𝑌)
516fveq2d 6182 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5213lsssubg 18938 . . . . . . . . 9 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5325, 15, 52syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5410, 26subg0 17581 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5651, 55eqtr4d 2657 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5750, 56syl5eq 2666 . . . . 5 (𝜑0 = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5849, 57breqtrd 4670 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5923, 38, 26, 2, 12, 30, 48, 58pwsgsum 18359 . . 3 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈))))
60 mptexg 6469 . . . . . 6 (𝐽𝑊 → (𝑦𝐽𝑈) ∈ V)
6112, 60syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑈) ∈ V)
62 fvexd 6190 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
6338a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
64 rlmplusg 19177 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
6564a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
6661, 1, 62, 63, 65gsumpropd 17253 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6766mpteq2dv 4736 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈))))
6859, 67eqtr4d 2657 . 2 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
697, 37, 683eqtr2d 2660 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  Vcvv 3195   ⊆ wss 3567   class class class wbr 4644   ↦ cmpt 4720  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   finSupp cfsupp 8260  Basecbs 15838   ↾s cress 15839  +gcplusg 15922  0gc0g 16081   Σg cgsu 16082   ↑s cpws 16088  Mndcmnd 17275  SubGrpcsubg 17569  CMndccmn 18174  Ringcrg 18528  LModclmod 18844  LSubSpclss 18913  ringLModcrglmod 19150   freeLMod cfrlm 20071 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-hom 15947  df-cco 15948  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-prds 16089  df-pws 16091  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-dsmm 20057  df-frlm 20072 This theorem is referenced by:  uvcresum  20113  matgsum  20224  matunitlindflem1  33376  matunitlindflem2  33377  aacllem  42312
 Copyright terms: Public domain W3C validator