MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmgsum 19868
Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmgsum.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmgsum.z 0 = (0g𝑌)
frlmgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
frlmgsum.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵)
frlmgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
frlmgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum
StepHypRef Expression
1 frlmgsum.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 frlmgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 frlmgsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmgsum.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
53, 4frlmpws 19851 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
61, 2, 5syl2anc 690 . . 3 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
76oveq1d 6538 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
8 eqid 2605 . . 3 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
9 eqid 2605 . . 3 (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10 eqid 2605 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
11 ovex 6551 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V)
13 frlmgsum.j . . 3 (𝜑𝐽𝑊)
14 eqid 2605 . . . . . 6 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
153, 4, 14frlmlss 19852 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
161, 2, 15syl2anc 690 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
178, 14lssss 18700 . . . 4 (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
19 frlmgsum.f . . . 4 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵)
20 eqid 2605 . . . 4 (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))
2119, 20fmptd 6273 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽𝐵)
22 rlmlmod 18968 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
231, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
24 eqid 2605 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
2524pwslmod 18733 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
2623, 2, 25syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
27 eqid 2605 . . . . 5 (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
2827, 14lss0cl 18710 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
2926, 16, 28syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
30 lmodcmn 18676 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
3123, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
32 cmnmnd 17973 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
3331, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
3424pwsmnd 17090 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
3533, 2, 34syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
368, 9, 27mndlrid 17075 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
3735, 36sylan 486 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
388, 9, 10, 12, 13, 18, 21, 29, 37gsumress 17041 . 2 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
39 rlmbas 18958 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
402adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
41 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
423, 41, 4frlmbasf 19861 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4340, 19, 42syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
44 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼𝑈) = (𝑥𝐼𝑈)
4544fmpt 6270 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 𝑈 ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4643, 45sylibr 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → ∀𝑥𝐼 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4746r19.21bi 2911 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4847an32s 841 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4948anasss 676 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
50 frlmgsum.w . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
51 frlmgsum.z . . . . . 6 0 = (0g𝑌)
526fveq2d 6088 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5314lsssubg 18720 . . . . . . . . 9 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5426, 16, 53syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5510, 27subg0 17365 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5752, 56eqtr4d 2642 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5851, 57syl5eq 2651 . . . . 5 (𝜑0 = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5950, 58breqtrd 4599 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
6024, 39, 27, 2, 13, 31, 49, 59pwsgsum 18143 . . 3 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈))))
61 mptexg 6363 . . . . . 6 (𝐽𝑊 → (𝑦𝐽𝑈) ∈ V)
6213, 61syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑈) ∈ V)
63 fvex 6094 . . . . . 6 (ringLMod‘𝑅) ∈ V
6463a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
6539a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
66 rlmplusg 18959 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
6766a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
6862, 1, 64, 65, 67gsumpropd 17037 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6968mpteq2dv 4663 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈))))
7060, 69eqtr4d 2642 . 2 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
717, 38, 703eqtr2d 2645 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  Vcvv 3168  wss 3535   class class class wbr 4573  cmpt 4633  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523   finSupp cfsupp 8131  Basecbs 15637  s cress 15638  +gcplusg 15710  0gc0g 15865   Σg cgsu 15866  s cpws 15872  Mndcmnd 17059  SubGrpcsubg 17353  CMndccmn 17958  Ringcrg 18312  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  ringLModcrglmod 18932   freeLMod cfrlm 19847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-sup 8204  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-hash 12931  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-hom 15735  df-cco 15736  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-prds 15873  df-pws 15875  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-dsmm 19833  df-frlm 19848
This theorem is referenced by:  uvcresum  19889  matgsum  20000  matunitlindflem1  32374  matunitlindflem2  32375  aacllem  42315
  Copyright terms: Public domain W3C validator