MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmlbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmlbs 20869
Description: The unit vectors comprise a basis for a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmlbs.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmlbs.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmlbs.j 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
frlmlbs ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran 𝑈𝐽)

Proof of Theorem frlmlbs
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmlbs.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2 frlmlbs.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
41, 2, 3uvcff 20863 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
54frnd 6514 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
6 suppssdm 7832 . . . . . 6 (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑎
7 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
82, 7, 3frlmbasf 20832 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
98adantll 710 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
106, 9fssdm 6523 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼)
1110ralrimiva 3179 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐹)(𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼)
12 rabid2 3379 . . . 4 ((Base‘𝐹) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼} ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐹)(𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼)
1311, 12sylibr 235 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘𝐹) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼})
14 ssid 3986 . . . 4 𝐼𝐼
15 eqid 2818 . . . . 5 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
16 eqid 2818 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
17 eqid 2818 . . . . 5 {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼} = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼}
182, 1, 15, 3, 16, 17frlmsslsp 20868 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐼𝐼) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈𝐼)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼})
1914, 18mp3an3 1441 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈𝐼)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼})
20 ffn 6507 . . . . 5 (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) → 𝑈 Fn 𝐼)
21 fnima 6471 . . . . 5 (𝑈 Fn 𝐼 → (𝑈𝐼) = ran 𝑈)
224, 20, 213syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝑈𝐼) = ran 𝑈)
2322fveq2d 6667 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈𝐼)) = ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈))
2413, 19, 233eqtr2rd 2860 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
25 eqid 2818 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐹) = ( ·𝑠𝐹)
26 eqid 2818 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})} = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})}
27 simpll 763 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑅 ∈ Ring)
28 simplr 765 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝐼𝑉)
29 difssd 4106 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝐼 ∖ {𝑐}) ⊆ 𝐼)
30 vsnid 4592 . . . . . . 7 𝑐 ∈ {𝑐}
31 snssi 4733 . . . . . . . . 9 (𝑐𝐼 → {𝑐} ⊆ 𝐼)
3231ad2antrl 724 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → {𝑐} ⊆ 𝐼)
33 dfss4 4232 . . . . . . . 8 ({𝑐} ⊆ 𝐼 ↔ (𝐼 ∖ (𝐼 ∖ {𝑐})) = {𝑐})
3432, 33sylib 219 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝐼 ∖ (𝐼 ∖ {𝑐})) = {𝑐})
3530, 34eleqtrrid 2917 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑐 ∈ (𝐼 ∖ (𝐼 ∖ {𝑐})))
362frlmsca 20825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
3736fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
3836fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐹)))
3938sneqd 4569 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → {(0g𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘𝐹))})
4037, 39difeq12d 4097 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}) = ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))
4140eleq2d 2895 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}) ↔ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))})))
4241biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))})) → 𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
4342adantrl 712 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
442, 1, 3, 7, 25, 16, 26, 27, 28, 29, 35, 43frlmssuvc2 20867 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
4516, 7ringelnzr 19967 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑅 ∈ NzRing)
4627, 43, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑅 ∈ NzRing)
471, 2, 3uvcf1 20864 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹))
4846, 28, 47syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹))
49 df-f1 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹) ↔ (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) ∧ Fun 𝑈))
5049simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹) → Fun 𝑈)
51 imadif 6431 . . . . . . . . 9 (Fun 𝑈 → (𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐})) = ((𝑈𝐼) ∖ (𝑈 “ {𝑐})))
5248, 50, 513syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐})) = ((𝑈𝐼) ∖ (𝑈 “ {𝑐})))
53 f1fn 6569 . . . . . . . . . 10 (𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹) → 𝑈 Fn 𝐼)
5448, 53, 213syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝑈𝐼) = ran 𝑈)
5548, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑈 Fn 𝐼)
56 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑐𝐼)
57 fnsnfv 6736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 Fn 𝐼𝑐𝐼) → {(𝑈𝑐)} = (𝑈 “ {𝑐}))
5855, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → {(𝑈𝑐)} = (𝑈 “ {𝑐}))
5958eqcomd 2824 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝑈 “ {𝑐}) = {(𝑈𝑐)})
6054, 59difeq12d 4097 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((𝑈𝐼) ∖ (𝑈 “ {𝑐})) = (ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))
6152, 60eqtr2d 2854 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}) = (𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐})))
6261fveq2d 6667 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})) = ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐}))))
632, 1, 15, 3, 16, 26frlmsslsp 20868 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉 ∧ (𝐼 ∖ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐}))) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
6427, 28, 29, 63syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐}))) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
6562, 64eqtrd 2853 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
6644, 65neleqtrrd 2932 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})))
6766ralrimivva 3188 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ∀𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})))
68 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) = (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)))
69 sneq 4567 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑈𝑐) → {𝑎} = {(𝑈𝑐)})
7069difeq2d 4096 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (ran 𝑈 ∖ {𝑎}) = (ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))
7170fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑈𝑐) → ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) = ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})))
7268, 71eleq12d 2904 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑈𝑐) → ((𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7372notbid 319 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7473ralbidv 3194 . . . . 5 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (∀𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ∀𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7574ralrn 6846 . . . 4 (𝑈 Fn 𝐼 → (∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ∀𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
764, 20, 753syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ∀𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7767, 76mpbird 258 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})))
782ovexi 7179 . . 3 𝐹 ∈ V
79 eqid 2818 . . . 4 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
80 eqid 2818 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
81 frlmlbs.j . . . 4 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
82 eqid 2818 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝐹)) = (0g‘(Scalar‘𝐹))
833, 79, 25, 80, 81, 15, 82islbs 19777 . . 3 (𝐹 ∈ V → (ran 𝑈𝐽 ↔ (ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹) ∧ ∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})))))
8478, 83ax-mp 5 . 2 (ran 𝑈𝐽 ↔ (ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹) ∧ ∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎}))))
855, 24, 77, 84syl3anbrc 1335 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran 𝑈𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  {csn 4557  ccnv 5547  ran crn 5549  cima 5551  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1wf1 6345  cfv 6348  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  Ringcrg 19226  LSpanclspn 19672  LBasisclbs 19775  NzRingcnzr 19958   freeLMod cfrlm 20818   unitVec cuvc 20854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lmhm 19723  df-lbs 19776  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-nzr 19959  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-uvc 20855
This theorem is referenced by:  frlmup3  20872  frlmup4  20873  lmisfree  20914  frlmisfrlm  20920  frlmdim  30908  lindsdom  34767  aacllem  44830
  Copyright terms: Public domain W3C validator