Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphllem 20041
 Description: Lemma for frlmphl 20042. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
frlmphl.o 𝑂 = (0g𝑌)
frlmphl.0 0 = (0g𝑅)
frlmphl.s = (*𝑟𝑅)
frlmphl.f (𝜑𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
frlmphllem ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,,𝑔,𝑥   ,𝐼   𝑅,   ,𝑉   ,𝑊   𝑔,𝑌,,𝑥   0 ,𝑔,,𝑥   𝜑,𝑔,,𝑥   , ,𝑔,,𝑥   · ,   𝑔,𝑂,   𝑥,
Allowed substitution hints:   (𝑔,)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem
StepHypRef Expression
1 frlmphl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑊)
213ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝐼𝑊)
3 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔𝑉)
4 frlmphl.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 frlmphl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 frlmphl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑌)
74, 5, 6frlmbasmap 20025 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
82, 3, 7syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
9 elmapi 7826 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼𝐵)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔:𝐼𝐵)
11 ffn 6004 . . . . . 6 (𝑔:𝐼𝐵𝑔 Fn 𝐼)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
13 simp3 1061 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑉)
144, 5, 6frlmbasmap 20025 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑉) → ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
152, 13, 14syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
16 elmapi 7826 . . . . . . 7 ( ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → :𝐼𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → :𝐼𝐵)
18 ffn 6004 . . . . . 6 (:𝐼𝐵 Fn 𝐼)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fn 𝐼)
20 inidm 3802 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
21 eqidd 2622 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
22 eqidd 2622 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
2312, 19, 2, 2, 20, 21, 22offval 6860 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
2423oveq1d 6622 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ))
25 ovex 6635 . . . . 5 (𝑔𝑓 · ) ∈ V
2625a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔𝑓 · ) ∈ V)
27 funmpt 5886 . . . . . . 7 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
29 funeq 5869 . . . . . 6 ((𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → (Fun (𝑔𝑓 · ) ↔ Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
3028, 29mpbird 247 . . . . 5 ((𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → Fun (𝑔𝑓 · ))
3123, 30syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fun (𝑔𝑓 · ))
32 frlmphl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
334, 32, 6frlmbasfsupp 20024 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
342, 3, 33syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
35 frlmphl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Field)
36 isfld 18680 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3735, 36sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3837simpld 475 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
39 drngring 18678 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
41403ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
425, 32ring0cl 18493 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0𝐵)
44 frlmphl.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
455, 44, 32ringlz 18511 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
4641, 45sylan 488 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
472, 43, 10, 17, 46suppofss1d 7280 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
48 fsuppsssupp 8238 . . . . 5 ((((𝑔𝑓 · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔𝑓 · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔𝑓 · ) finSupp 0 )
4948fsuppimpd 8229 . . . 4 ((((𝑔𝑓 · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔𝑓 · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ∈ Fin)
5026, 31, 34, 47, 49syl22anc 1324 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ∈ Fin)
5124, 50eqeltrrd 2699 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
5227a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
53 mptexg 6441 . . . 4 (𝐼𝑊 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V)
542, 53syl 17 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V)
55 fvex 6160 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
5632, 55eqeltri 2694 . . . 4 0 ∈ V
5756a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0 ∈ V)
58 funisfsupp 8227 . . 3 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5952, 54, 57, 58syl3anc 1323 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
6051, 59mpbird 247 1 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3556   class class class wbr 4615   ↦ cmpt 4675  Fun wfun 5843   Fn wfn 5844  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   ∘𝑓 cof 6851   supp csupp 7243   ↑𝑚 cmap 7805  Fincfn 7902   finSupp cfsupp 8222  Basecbs 15784  .rcmulr 15866  *𝑟cstv 15867  ·𝑖cip 15870  0gc0g 16024  Ringcrg 18471  CRingccrg 18472  DivRingcdr 18671  Fieldcfield 18672   freeLMod cfrlm 20012 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-hom 15890  df-cco 15891  df-0g 16026  df-prds 16032  df-pws 16034  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-mgp 18414  df-ring 18473  df-drng 18673  df-field 18674  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-dsmm 19998  df-frlm 20013 This theorem is referenced by:  frlmphl  20042
 Copyright terms: Public domain W3C validator