Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmpwfi 37145
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
2 fvex 6158 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘2) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . . . 5 𝑅 ∈ V
4 frlmpwfi.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7 eqid 2621 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)}
84, 5, 6, 7frlmbas 20018 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
93, 8mpan 705 . . . 4 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
10 frlmpwfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
119, 10syl6eqr 2673 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = 𝐵)
12 eqid 2621 . . . 4 {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
13 enrefg 7931 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝐼)
14 2nn 11129 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
151, 5znhash 19826 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℕ → (#‘(Base‘𝑅)) = 2)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘(Base‘𝑅)) = 2
17 hash2 13133 . . . . . . 7 (#‘2𝑜) = 2
1816, 17eqtr4i 2646 . . . . . 6 (#‘(Base‘𝑅)) = (#‘2𝑜)
19 2nn0 11253 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
2016, 19eqeltri 2694 . . . . . . . 8 (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
21 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
22 hashclb 13089 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2420, 23mpbir 221 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ Fin
25 2onn 7665 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
26 nnfi 8097 . . . . . . . 8 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ Fin
28 hashen 13075 . . . . . . 7 (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → ((#‘(Base‘𝑅)) = (#‘2𝑜) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜))
2924, 27, 28mp2an 707 . . . . . 6 ((#‘(Base‘𝑅)) = (#‘2𝑜) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜)
3018, 29mpbi 220 . . . . 5 (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜
3130a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜)
321zncrng 19812 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0𝑅 ∈ CRing)
33 crngring 18479 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3419, 32, 33mp2b 10 . . . . 5 𝑅 ∈ Ring
355, 6ring0cl 18490 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3634, 35mp1i 13 . . . 4 (𝐼𝑉 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37 2on0 7514 . . . . . 6 2𝑜 ≠ ∅
38 2on 7513 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
39 on0eln0 5739 . . . . . . 7 (2𝑜 ∈ On → (∅ ∈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≠ ∅))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≠ ∅)
4137, 40mpbir 221 . . . . 5 ∅ ∈ 2𝑜
4241a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ 2𝑜)
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2 8258 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4411, 43eqbrtrrd 4637 . 2 (𝐼𝑉𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4512pwfi2en 37144 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
46 entr 7952 . 2 ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
4744, 45, 46syl2anc 692 1 (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3554  c0 3891  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  Oncon0 5682  cfv 5847  (class class class)co 6604  ωcom 7012  2𝑜c2o 7499  𝑚 cmap 7802  cen 7896  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  #chash 13057  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469  ℤ/nczn 19770   freeLMod cfrlm 20009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-hash 13058  df-dvds 14908  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-prds 16029  df-pws 16031  df-imas 16089  df-qus 16090  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-nsg 17513  df-eqg 17514  df-ghm 17579  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-rnghom 18636  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-lidl 19093  df-rsp 19094  df-2idl 19151  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zrh 19771  df-zn 19774  df-dsmm 19995  df-frlm 20010
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  37153
  Copyright terms: Public domain W3C validator