Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmpwfi 38162
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
2 fvex 6354 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘2) ∈ V
31, 2eqeltri 2827 . . . . 5 𝑅 ∈ V
4 frlmpwfi.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 eqid 2752 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2752 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7 eqid 2752 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)}
84, 5, 6, 7frlmbas 20293 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
93, 8mpan 708 . . . 4 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
10 frlmpwfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
119, 10syl6eqr 2804 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = 𝐵)
12 eqid 2752 . . . 4 {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
13 enrefg 8145 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝐼)
14 2nn 11369 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
151, 5znhash 20101 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑅)) = 2)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘(Base‘𝑅)) = 2
17 hash2 13377 . . . . . . 7 (♯‘2𝑜) = 2
1816, 17eqtr4i 2777 . . . . . 6 (♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2𝑜)
19 2nn0 11493 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
2016, 19eqeltri 2827 . . . . . . . 8 (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
21 fvex 6354 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
22 hashclb 13333 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2420, 23mpbir 221 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ Fin
25 2onn 7881 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
26 nnfi 8310 . . . . . . . 8 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ Fin
28 hashen 13321 . . . . . . 7 (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2𝑜) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜))
2924, 27, 28mp2an 710 . . . . . 6 ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2𝑜) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜)
3018, 29mpbi 220 . . . . 5 (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜
3130a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜)
321zncrng 20087 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0𝑅 ∈ CRing)
33 crngring 18750 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3419, 32, 33mp2b 10 . . . . 5 𝑅 ∈ Ring
355, 6ring0cl 18761 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3634, 35mp1i 13 . . . 4 (𝐼𝑉 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37 2on0 7730 . . . . . 6 2𝑜 ≠ ∅
38 2on 7729 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
39 on0eln0 5933 . . . . . . 7 (2𝑜 ∈ On → (∅ ∈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≠ ∅))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≠ ∅)
4137, 40mpbir 221 . . . . 5 ∅ ∈ 2𝑜
4241a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ 2𝑜)
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2 8471 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4411, 43eqbrtrrd 4820 . 2 (𝐼𝑉𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4512pwfi2en 38161 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
46 entr 8165 . 2 ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
4744, 45, 46syl2anc 696 1 (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  {crab 3046  Vcvv 3332  cin 3706  c0 4050  𝒫 cpw 4294   class class class wbr 4796  Oncon0 5876  cfv 6041  (class class class)co 6805  ωcom 7222  2𝑜c2o 7715  𝑚 cmap 8015  cen 8110  Fincfn 8113   finSupp cfsupp 8432  cn 11204  2c2 11254  0cn0 11476  chash 13303  Basecbs 16051  0gc0g 16294  Ringcrg 18739  CRingccrg 18740  ℤ/nczn 20045   freeLMod cfrlm 20284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-ec 7905  df-qs 7909  df-map 8017  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-sup 8505  df-inf 8506  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-hash 13304  df-dvds 15175  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-0g 16296  df-prds 16302  df-pws 16304  df-imas 16362  df-qus 16363  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-nsg 17785  df-eqg 17786  df-ghm 17851  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-rnghom 18909  df-subrg 18972  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-sra 19366  df-rgmod 19367  df-lidl 19368  df-rsp 19369  df-2idl 19426  df-cnfld 19941  df-zring 20013  df-zrh 20046  df-zn 20049  df-dsmm 20270  df-frlm 20285
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  38169
  Copyright terms: Public domain W3C validator