MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsslsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsslsp 20870
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslsp.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslsp.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmsslsp.k 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
frlmsslsp.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslsp.z 0 = (0g𝑅)
frlmsslsp.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
Assertion
Ref Expression
frlmsslsp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslsp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmsslsp.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
21frlmlmod 20823 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)
323adant3 1124 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
4 eqid 2821 . . . 4 (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
5 frlmsslsp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
6 frlmsslsp.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
7 frlmsslsp.c . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
81, 4, 5, 6, 7frlmsslss2 20849 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌))
9 frlmsslsp.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
109, 1, 5uvcff 20865 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
11103adant3 1124 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑈:𝐼𝐵)
1211adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈:𝐼𝐵)
13 simp3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐽𝐼)
1413sselda 3966 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝐼)
1512, 14ffvelrnd 6845 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦) ∈ 𝐵)
16 simpl2 1184 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
17 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
181, 17, 5frlmbasf 20834 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑈𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
1916, 15, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
20 simpll1 1204 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
21 simpll2 1205 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐼𝑉)
2214adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝐼)
23 eldifi 4102 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) → 𝑥𝐼)
2423adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑥𝐼)
25 disjdif 4419 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅
26 disjne 4402 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅ ∧ 𝑦𝐽𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
2725, 26mp3an1 1439 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐽𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
2827adantll 710 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
299, 20, 21, 22, 24, 28, 6uvcvv0 20864 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑈𝑦)‘𝑥) = 0 )
3019, 29suppss 7851 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
31 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑈𝑦) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑈𝑦) supp 0 ))
3231sseq1d 3997 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑈𝑦) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
3332, 7elrab2 3682 . . . . . 6 ((𝑈𝑦) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑈𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
3415, 30, 33sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦) ∈ 𝐶)
3534ralrimiva 3182 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶)
3611ffund 6512 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → Fun 𝑈)
3711fdmd 6517 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → dom 𝑈 = 𝐼)
3813, 37sseqtrrd 4007 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐽 ⊆ dom 𝑈)
39 funimass4 6724 . . . . 5 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶))
4036, 38, 39syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶))
4135, 40mpbird 258 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐶)
42 frlmsslsp.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
434, 42lspssp 19691 . . 3 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌) ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐶) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ⊆ 𝐶)
443, 8, 41, 43syl3anc 1363 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ⊆ 𝐶)
45 simpl1 1183 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
46 simpl2 1184 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝐼𝑉)
477ssrab3 4056 . . . . . 6 𝐶𝐵
4847a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶𝐵)
4948sselda 3966 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦𝐵)
50 eqid 2821 . . . . 5 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
519, 1, 5, 50uvcresum 20867 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)))
5245, 46, 49, 51syl3anc 1363 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)))
53 eqid 2821 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
54 lmodabl 19612 . . . . . 6 (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
553, 54syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑌 ∈ Abel)
5655adantr 481 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑌 ∈ Abel)
57 imassrn 5934 . . . . . . . 8 (𝑈𝐽) ⊆ ran 𝑈
5811frnd 6515 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ran 𝑈𝐵)
5957, 58sstrid 3977 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵)
605, 4, 42lspcl 19679 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
613, 59, 60syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
624lsssubg 19660 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
633, 61, 62syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
6463adantr 481 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
651, 17, 5frlmbasf 20834 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
66653ad2antl2 1178 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
6766ffnd 6509 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 Fn 𝐼)
6811ffnd 6509 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
6968adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑈 Fn 𝐼)
70 simpl2 1184 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐼𝑉)
71 inidm 4194 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
7267, 69, 70, 70, 71offn 7409 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
7349, 72syldan 591 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
7449, 67syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
7574adantrr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑦 Fn 𝐼)
7668adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑈 Fn 𝐼)
77 simpl2 1184 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝐼𝑉)
78 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑧𝐼)
79 fnfvof 7412 . . . . . . . . 9 (((𝑦 Fn 𝐼𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑧𝐼)) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
8075, 76, 77, 78, 79syl22anc 834 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
813adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑌 ∈ LMod)
8261adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
8347sseli 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐶𝑦𝐵)
8483, 66sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8584adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8613sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐽) → 𝑧𝐼)
8786adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑧𝐼)
8885, 87ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑦𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
891frlmsca 20827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
90893adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
9190fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
9388, 92eleqtrd 2915 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑦𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
945, 42lspssid 19688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
953, 59, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
97 funfvima2 6985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → (𝑧𝐽 → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽)))
9836, 38, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑧𝐽 → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽)))
9998imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽))
10099adantrl 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽))
10196, 100sseldd 3967 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
102 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
103 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
104102, 50, 103, 4lssvscl 19658 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
10581, 82, 93, 101, 104syl22anc 834 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
106105anassrs 468 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
107106adantlrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
108 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
109108adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
111 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑧𝐼)
112 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ¬ 𝑧𝐽)
113111, 112eldifd 3946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑧 ∈ (𝐼𝐽))
114 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 supp 0 ) = (𝑦 supp 0 ))
115114sseq1d 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
116115, 7elrab2 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐶 ↔ (𝑦𝐵 ∧ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
117116simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐶 → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
1196fvexi 6678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 0 ∈ V)
12184, 118, 46, 120suppssr 7852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼𝐽)) → (𝑦𝑧) = 0 )
122110, 113, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑦𝑧) = 0 )
12390fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
1246, 123syl5eq 2868 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
125124ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
126122, 125eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑦𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
127126oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
1283ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑌 ∈ LMod)
12911ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
130129adantrl 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
131130adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
132 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
1335, 102, 50, 132, 53lmod0vs 19598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑧) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
134128, 131, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
135127, 134eqtrd 2856 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
13661ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
13753, 4lss0cl 19649 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (0g𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
138128, 136, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (0g𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
139135, 138eqeltrd 2913 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
140107, 139pm2.61dan 809 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
14180, 140eqeltrd 2913 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
142141expr 457 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑧𝐼 → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽))))
143142ralrimiv 3181 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ∀𝑧𝐼 ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
144 ffnfv 6875 . . . . 5 ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈𝐽)) ↔ ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑧𝐼 ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽))))
14573, 143, 144sylanbrc 583 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈𝐽)))
1461, 6, 5frlmbasfsupp 20832 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 finSupp 0 )
147146fsuppimpd 8829 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
14846, 49, 147syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
149 dffn2 6510 . . . . . . . . 9 ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ↔ (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
15072, 149sylib 219 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
15167adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑦 Fn 𝐼)
15268ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑈 Fn 𝐼)
153 simpll2 1205 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝐼𝑉)
154 eldifi 4102 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 )) → 𝑥𝐼)
155154adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑥𝐼)
156 fnfvof 7412 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 Fn 𝐼𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑥𝐼)) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
157151, 152, 153, 155, 156syl22anc 834 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
158 ssidd 3989 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
159119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 0 ∈ V)
16066, 158, 70, 159suppssr 7852 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦𝑥) = 0 )
161124ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
162160, 161eqtrd 2856 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
163162oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
1643ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑌 ∈ LMod)
16511adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑈:𝐼𝐵)
166 ffvelrn 6842 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈:𝐼𝐵𝑥𝐼) → (𝑈𝑥) ∈ 𝐵)
167165, 154, 166syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑈𝑥) ∈ 𝐵)
1685, 102, 50, 132, 53lmod0vs 19598 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = (0g𝑌))
169164, 167, 168syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = (0g𝑌))
170157, 163, 1693eqtrd 2860 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = (0g𝑌))
171150, 170suppss 7851 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
17249, 171syldan 591 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
173148, 172ssfid 8730 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin)
174 simp2 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐼𝑉)
1751, 17, 5frlmbasmap 20833 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
176174, 83, 175syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
177 elmapfn 8419 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
178176, 177syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
17911adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈:𝐼𝐵)
180179ffnd 6509 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
181178, 180, 46, 46, 71offn 7409 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
182 fnfun 6447 . . . . . . 7 ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 → Fun (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈))
183181, 182syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → Fun (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈))
184 ovexd 7180 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∈ V)
185 fvexd 6679 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (0g𝑌) ∈ V)
186 funisfsupp 8827 . . . . . 6 ((Fun (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∧ (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∈ V ∧ (0g𝑌) ∈ V) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌) ↔ ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin))
187183, 184, 185, 186syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌) ↔ ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin))
188173, 187mpbird 258 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌))
18953, 56, 46, 64, 145, 188gsumsubgcl 18971 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑌 Σg (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
19052, 189eqeltrd 2913 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
19144, 190eqelssd 3987 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3495  cdif 3932  cin 3934  wss 3935  c0 4290   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  ran crn 5550  cima 5552  Fun wfun 6343   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  f cof 7396   supp csupp 7821  m cmap 8396  Fincfn 8498   finSupp cfsupp 8822  Basecbs 16473  Scalarcsca 16558   ·𝑠 cvsca 16559  0gc0g 16703   Σg cgsu 16704  SubGrpcsubg 18213  Abelcabl 18838  Ringcrg 19228  LModclmod 19565  LSubSpclss 19634  LSpanclspn 19674   freeLMod cfrlm 20820   unitVec cuvc 20856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-prds 16711  df-pws 16713  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-sbg 18048  df-mulg 18165  df-subg 18216  df-ghm 18296  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-abl 18840  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-subrg 19464  df-lmod 19567  df-lss 19635  df-lsp 19675  df-lmhm 19725  df-sra 19875  df-rgmod 19876  df-dsmm 20806  df-frlm 20821  df-uvc 20857
This theorem is referenced by:  frlmlbs  20871
  Copyright terms: Public domain W3C validator