Theorem frlmsslss 20920

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. 𝐽 is the set of forbidden unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslss.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
frlmsslss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslss.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmsslss.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })}

Assertion

Ref	Expression
frlmsslss	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, 0   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslss.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })}
2		simp1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		simp3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
5	3, 4	ssexd 5230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ∈ V)
6		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐽) = (𝑅 freeLMod 𝐽)
7		frlmsslss.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	frlm0 20900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ V) → (𝐽 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)))
9	2, 5, 8	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐽 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)))
10	9	eqeq2d 2834	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ((𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 }) ↔ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))))
11	10	rabbidv 3482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
12	1, 11	syl5eq 2870	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
13		frlmsslss.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
14		frlmsslss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
15		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐽))
16		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽))
17	13, 6, 14, 15, 16	frlmsplit2 20919	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) ∈ (𝑌 LMHom (𝑅 freeLMod 𝐽)))
18		fvex 6685	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) ∈ V
19	16	mptiniseg 6095	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) ∈ V → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}
21	20	eqcomi 2832	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
22		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))
23		frlmsslss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
24	21, 22, 23	lmhmkerlss 19825	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) ∈ (𝑌 LMHom (𝑅 freeLMod 𝐽)) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} ∈ 𝑈)
25	17, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} ∈ 𝑈)
26	12, 25	eqeltrd 2915	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  {csn 4569   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ^◡ccnv 5556   ↾ cres 5559   “ cima 5560  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  0_gc0g 16715  Ringcrg 19299  LSubSpclss 19705   LMHom clmhm 19793   freeLMod cfrlm 20892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lmhm 19796  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-dsmm 20878  df-frlm 20893

This theorem is referenced by:  frlmsslss2  20921