MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmssuvc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmssuvc1 20868
Description: A scalar multiple of a unit vector included in a support-restriction subspace is included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmssuvc1.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t · = ( ·𝑠𝐹)
frlmssuvc1.z 0 = (0g𝑅)
frlmssuvc1.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmssuvc1.j (𝜑𝐽𝐼)
frlmssuvc1.l (𝜑𝐿𝐽)
frlmssuvc1.x (𝜑𝑋𝐾)
Assertion
Ref Expression
frlmssuvc1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc1
StepHypRef Expression
1 frlmssuvc1.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 frlmssuvc1.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 frlmssuvc1.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
43frlmlmod 20823 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
51, 2, 4syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
6 frlmssuvc1.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
7 eqid 2821 . . . 4 (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
8 frlmssuvc1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
9 frlmssuvc1.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
10 frlmssuvc1.c . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
113, 7, 8, 9, 10frlmsslss2 20849 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐹))
121, 2, 6, 11syl3anc 1363 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐹))
13 frlmssuvc1.x . . 3 (𝜑𝑋𝐾)
14 frlmssuvc1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
153frlmsca 20827 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
161, 2, 15syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1716fveq2d 6668 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
1814, 17syl5eq 2868 . . 3 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
1913, 18eleqtrd 2915 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
20 frlmssuvc1.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2120, 3, 8uvcff 20865 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
221, 2, 21syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑈:𝐼𝐵)
23 frlmssuvc1.l . . . . 5 (𝜑𝐿𝐽)
246, 23sseldd 3967 . . . 4 (𝜑𝐿𝐼)
2522, 24ffvelrnd 6845 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐿) ∈ 𝐵)
263, 14, 8frlmbasf 20834 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑈𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑈𝐿):𝐼𝐾)
272, 25, 26syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐿):𝐼𝐾)
281adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
292adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐼𝑉)
3024adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐿𝐼)
31 eldifi 4102 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) → 𝑥𝐼)
3231adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑥𝐼)
33 disjdif 4419 . . . . . 6 (𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅
34 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝐼𝐽))
35 disjne 4402 . . . . . 6 (((𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅ ∧ 𝐿𝐽𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐿𝑥)
3633, 23, 34, 35mp3an2ani 1459 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐿𝑥)
3720, 28, 29, 30, 32, 36, 9uvcvv0 20864 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑈𝐿)‘𝑥) = 0 )
3827, 37suppss 7851 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝐿) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
39 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝐿) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑈𝐿) supp 0 ))
4039sseq1d 3997 . . . 4 (𝑥 = (𝑈𝐿) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑈𝐿) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
4140, 10elrab2 3682 . . 3 ((𝑈𝐿) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑈𝐿) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈𝐿) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
4225, 38, 41sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐿) ∈ 𝐶)
43 eqid 2821 . . 3 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
44 frlmssuvc1.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐹)
45 eqid 2821 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
4643, 44, 45, 7lssvscl 19658 . 2 (((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈𝐿) ∈ 𝐶)) → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
475, 12, 19, 42, 46syl22anc 834 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  {crab 3142  cdif 3932  cin 3934  wss 3935  c0 4290  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145   supp csupp 7821  Basecbs 16473  Scalarcsca 16558   ·𝑠 cvsca 16559  0gc0g 16703  Ringcrg 19228  LModclmod 19565  LSubSpclss 19634   freeLMod cfrlm 20820   unitVec cuvc 20856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-prds 16711  df-pws 16713  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-sbg 18048  df-subg 18216  df-ghm 18296  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-subrg 19464  df-lmod 19567  df-lss 19635  df-lmhm 19725  df-sra 19875  df-rgmod 19876  df-dsmm 20806  df-frlm 20821  df-uvc 20857
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator