Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmssuvc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmssuvc1 20073
 Description: A scalar multiple of a unit vector included in a support-restriction subspace is included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmssuvc1.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t · = ( ·𝑠𝐹)
frlmssuvc1.z 0 = (0g𝑅)
frlmssuvc1.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmssuvc1.j (𝜑𝐽𝐼)
frlmssuvc1.l (𝜑𝐿𝐽)
frlmssuvc1.x (𝜑𝑋𝐾)
Assertion
Ref Expression
frlmssuvc1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc1
StepHypRef Expression
1 frlmssuvc1.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 frlmssuvc1.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 frlmssuvc1.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
43frlmlmod 20033 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
51, 2, 4syl2anc 692 . 2 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
6 frlmssuvc1.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
7 eqid 2621 . . . 4 (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
8 frlmssuvc1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
9 frlmssuvc1.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
10 frlmssuvc1.c . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
113, 7, 8, 9, 10frlmsslss2 20054 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐹))
121, 2, 6, 11syl3anc 1323 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐹))
13 frlmssuvc1.x . . 3 (𝜑𝑋𝐾)
14 frlmssuvc1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
153frlmsca 20037 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
161, 2, 15syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1716fveq2d 6162 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
1814, 17syl5eq 2667 . . 3 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
1913, 18eleqtrd 2700 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
20 frlmssuvc1.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2120, 3, 8uvcff 20070 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
221, 2, 21syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝑈:𝐼𝐵)
23 frlmssuvc1.l . . . . 5 (𝜑𝐿𝐽)
246, 23sseldd 3589 . . . 4 (𝜑𝐿𝐼)
2522, 24ffvelrnd 6326 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐿) ∈ 𝐵)
263, 14, 8frlmbasf 20044 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑈𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑈𝐿):𝐼𝐾)
272, 25, 26syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐿):𝐼𝐾)
281adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
292adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐼𝑉)
3024adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐿𝐼)
31 eldifi 3716 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) → 𝑥𝐼)
3231adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑥𝐼)
33 disjdif 4018 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅
3433a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → (𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅)
3523adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐿𝐽)
36 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝐼𝐽))
37 disjne 4000 . . . . . 6 (((𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅ ∧ 𝐿𝐽𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐿𝑥)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐿𝑥)
3920, 28, 29, 30, 32, 38, 9uvcvv0 20069 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑈𝐿)‘𝑥) = 0 )
4027, 39suppss 7285 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝐿) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
41 oveq1 6622 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝐿) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑈𝐿) supp 0 ))
4241sseq1d 3617 . . . 4 (𝑥 = (𝑈𝐿) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑈𝐿) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
4342, 10elrab2 3353 . . 3 ((𝑈𝐿) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑈𝐿) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈𝐿) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
4425, 40, 43sylanbrc 697 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐿) ∈ 𝐶)
45 eqid 2621 . . 3 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
46 frlmssuvc1.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐹)
47 eqid 2621 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
4845, 46, 47, 7lssvscl 18895 . 2 (((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈𝐿) ∈ 𝐶)) → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
495, 12, 19, 44, 48syl22anc 1324 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2912   ∖ cdif 3557   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   supp csupp 7255  Basecbs 15800  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  0gc0g 16040  Ringcrg 18487  LModclmod 18803  LSubSpclss 18872   freeLMod cfrlm 20030   unitVec cuvc 20061 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-subrg 18718  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lmhm 18962  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-dsmm 20016  df-frlm 20031  df-uvc 20062 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator