Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmssuvc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmssuvc2 20056
 Description: A nonzero scalar multiple of a unit vector not included in a support-restriction subspace is not included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmssuvc1.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t · = ( ·𝑠𝐹)
frlmssuvc1.z 0 = (0g𝑅)
frlmssuvc1.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmssuvc1.j (𝜑𝐽𝐼)
frlmssuvc2.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐼𝐽))
frlmssuvc2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
frlmssuvc2 (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc2
StepHypRef Expression
1 frlmssuvc2.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐼𝐽))
21eldifad 3568 . . . . . 6 (𝜑𝐿𝐼)
3 frlmssuvc1.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmssuvc1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐹)
5 frlmssuvc1.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
6 frlmssuvc1.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
7 frlmssuvc2.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
87eldifad 3568 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐾)
9 frlmssuvc1.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 frlmssuvc1.u . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1110, 3, 4uvcff 20052 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
129, 6, 11syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈:𝐼𝐵)
1312, 2ffvelrnd 6318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐿) ∈ 𝐵)
14 frlmssuvc1.t . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝐹)
15 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
163, 4, 5, 6, 8, 13, 2, 14, 15frlmvscaval 20032 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) = (𝑋(.r𝑅)((𝑈𝐿)‘𝐿)))
17 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1810, 9, 6, 2, 17uvcvv1 20050 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐿)‘𝐿) = (1r𝑅))
1918oveq2d 6623 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)((𝑈𝐿)‘𝐿)) = (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)))
205, 15, 17ringridm 18496 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑋)
219, 8, 20syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑋)
2216, 19, 213eqtrd 2659 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) = 𝑋)
23 eldifsni 4291 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
247, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋0 )
2522, 24eqnetrd 2857 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) ≠ 0 )
26 fveq2 6150 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐿 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) = ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿))
2726neeq1d 2849 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐿 → (((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
2827elrab 3347 . . . . . 6 (𝐿 ∈ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ↔ (𝐿𝐼 ∧ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
292, 25, 28sylanbrc 697 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
301eldifbd 3569 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐿𝐽)
31 nelss 3645 . . . . 5 ((𝐿 ∈ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ∧ ¬ 𝐿𝐽) → ¬ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
3229, 30, 31syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ¬ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
333frlmlmod 20015 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
349, 6, 33syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
353frlmsca 20019 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
369, 6, 35syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
3736fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
385, 37syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
398, 38eleqtrd 2700 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
40 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
41 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
424, 40, 14, 41lmodvscl 18804 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵)
4334, 39, 13, 42syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵)
443, 5, 4frlmbasf 20026 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈𝐿)):𝐼𝐾)
456, 43, 44syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)):𝐼𝐾)
46 ffn 6004 . . . . . . 7 ((𝑋 · (𝑈𝐿)):𝐼𝐾 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) Fn 𝐼)
4745, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) Fn 𝐼)
48 frlmssuvc1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
49 fvex 6160 . . . . . . . 8 (0g𝑅) ∈ V
5048, 49eqeltri 2694 . . . . . . 7 0 ∈ V
5150a1i 11 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ V)
52 suppvalfn 7250 . . . . . 6 (((𝑋 · (𝑈𝐿)) Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
5347, 6, 51, 52syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
5453sseq1d 3613 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽))
5532, 54mtbird 315 . . 3 (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
5655intnand 961 . 2 (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
57 oveq1 6614 . . . 4 (𝑥 = (𝑋 · (𝑈𝐿)) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ))
5857sseq1d 3613 . . 3 (𝑥 = (𝑋 · (𝑈𝐿)) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
59 frlmssuvc1.c . . 3 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
6058, 59elrab2 3349 . 2 ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
6156, 60sylnibr 319 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186   ∖ cdif 3553   ⊆ wss 3556  {csn 4150   Fn wfn 5844  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   supp csupp 7243  Basecbs 15784  .rcmulr 15866  Scalarcsca 15868   ·𝑠 cvsca 15869  0gc0g 16024  1rcur 18425  Ringcrg 18471  LModclmod 18787   freeLMod cfrlm 20012   unitVec cuvc 20043 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-hom 15890  df-cco 15891  df-0g 16026  df-prds 16032  df-pws 16034  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-subrg 18702  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-dsmm 19998  df-frlm 20013  df-uvc 20044 This theorem is referenced by:  frlmlbs  20058
 Copyright terms: Public domain W3C validator