MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup4 20072
Description: Universal property of the free module by existential uniquenes. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup4.r 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
frlmup4.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
frlmup4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐹   𝑇,𝑚   𝑈,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑚)   𝑅(𝑚)   𝐼(𝑚)   𝑋(𝑚)

Proof of Theorem frlmup4
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup4.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3 frlmup4.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑇)
4 eqid 2621 . . . 4 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
5 eqid 2621 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴)))
6 simp1 1059 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
7 simp2 1060 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐼𝑋)
8 frlmup4.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
98a1i 11 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
10 simp3 1061 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐴:𝐼𝐶)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10frlmup1 20069 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12 ovex 6638 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴)) ∈ V
1312, 5fnmpti 5984 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹)
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹))
158lmodring 18803 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
16153ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
17 frlmup4.u . . . . . . . 8 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1817, 1, 2uvcff 20062 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
1916, 7, 18syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
20 ffn 6007 . . . . . 6 (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) → 𝑈 Fn 𝐼)
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
22 frn 6015 . . . . . 6 (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
2319, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
24 fnco 5962 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹) ∧ 𝑈 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
2514, 21, 23, 24syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
26 ffn 6007 . . . . 5 (𝐴:𝐼𝐶𝐴 Fn 𝐼)
27263ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐴 Fn 𝐼)
2819adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
2928, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
30 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
31 fvco2 6235 . . . . . 6 ((𝑈 Fn 𝐼𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)))
3229, 30, 31syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)))
33 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
34 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐼𝑋)
358a1i 11 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
36 simpl3 1064 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐴:𝐼𝐶)
371, 2, 3, 4, 5, 33, 34, 35, 36, 30, 17frlmup2 20070 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)) = (𝐴𝑦))
3832, 37eqtrd 2655 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = (𝐴𝑦))
3925, 27, 38eqfnfvd 6275 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
40 coeq1 5244 . . . . 5 (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) → (𝑚𝑈) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈))
4140eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) → ((𝑚𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
4241rspcev 3298 . . 3 (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
4311, 39, 42syl2anc 692 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
44 ffun 6010 . . . . 5 (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) → Fun 𝑈)
4519, 44syl 17 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → Fun 𝑈)
46 funcoeqres 6129 . . . . . 6 ((Fun 𝑈 ∧ (𝑚𝑈) = 𝐴) → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
4746ex 450 . . . . 5 (Fun 𝑈 → ((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
4847ralrimivw 2962 . . . 4 (Fun 𝑈 → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
4945, 48syl 17 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
50 eqid 2621 . . . . . . 7 (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
511, 17, 50frlmlbs 20068 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
5216, 7, 51syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
53 eqid 2621 . . . . . 6 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
542, 50, 53lbssp 19011 . . . . 5 (ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
5552, 54syl 17 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
562, 53lspextmo 18988 . . . 4 ((ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹)) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
5723, 55, 56syl2anc 692 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
58 rmoim 3393 . . 3 (∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)) → (∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴))
5949, 57, 58sylc 65 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
60 reu5 3151 . 2 (∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴 ↔ (∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴 ∧ ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴))
6143, 59, 60sylanbrc 697 1 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  ∃!wreu 2909  ∃*wrmo 2910  wss 3559  cmpt 4678  ccnv 5078  ran crn 5080  cres 5081  ccom 5083  Fun wfun 5846   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  Basecbs 15792  Scalarcsca 15876   ·𝑠 cvsca 15877   Σg cgsu 16033  Ringcrg 18479  LModclmod 18795  LSpanclspn 18903   LMHom clmhm 18951  LBasisclbs 19006   freeLMod cfrlm 20022   unitVec cuvc 20053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-hom 15898  df-cco 15899  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-prds 16040  df-pws 16042  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-subrg 18710  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-lmhm 18954  df-lbs 19007  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-nzr 19190  df-dsmm 20008  df-frlm 20023  df-uvc 20054
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator