MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmd0 17444
Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmd0 ∅ = (0g𝑀)

Proof of Theorem frmd0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2651 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
3 eqid 2651 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4 wrd0 13362 . . . 4 ∅ ∈ Word 𝐼
5 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
65, 1frmdbas 17436 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
74, 6syl5eleqr 2737 . . 3 (𝐼 ∈ V → ∅ ∈ (Base‘𝑀))
85, 1, 3frmdadd 17439 . . . . 5 ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
97, 8sylan 487 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
105, 1frmdelbas 17437 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
12 ccatlid 13404 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
149, 13eqtrd 2685 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g𝑀)𝑥) = 𝑥)
155, 1, 3frmdadd 17439 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
1615ancoms 468 . . . . 5 ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
177, 16sylan 487 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
18 ccatrid 13405 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
1911, 18syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
2017, 19eqtrd 2685 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = 𝑥)
211, 2, 3, 7, 14, 20ismgmid2 17314 . 2 (𝐼 ∈ V → ∅ = (0g𝑀))
22 fvprc 6223 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
235, 22syl5eq 2697 . . . 4 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
2423fveq2d 6233 . . 3 𝐼 ∈ V → (0g𝑀) = (0g‘∅))
25 0g0 17310 . . 3 ∅ = (0g‘∅)
2624, 25syl6reqr 2704 . 2 𝐼 ∈ V → ∅ = (0g𝑀))
2721, 26pm2.61i 176 1 ∅ = (0g𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  Word cword 13323   ++ cconcat 13325  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  freeMndcfrmd 17431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-frmd 17433
This theorem is referenced by:  frmdsssubm  17445  frmdgsum  17446  frmdup1  17448  frgpmhm  18224  mrsub0  31539  elmrsubrn  31543
  Copyright terms: Public domain W3C validator