Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdgsum 17600
 Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdgsum ((𝐼𝑉𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem frmdgsum
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeq2 5436 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = (𝑈 ∘ ∅))
2 co02 5810 . . . . . . 7 (𝑈 ∘ ∅) = ∅
31, 2syl6eq 2810 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = ∅)
43oveq2d 6829 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
5 id 22 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
64, 5eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg ∅) = ∅))
76imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)))
8 coeq2 5436 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑦))
98oveq2d 6829 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈𝑦)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦)))
13 coeq2 5436 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑈𝑥) = (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1413oveq2d 6829 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
15 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → 𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
1614, 15eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1716imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
18 coeq2 5436 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑊 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑊))
1918oveq2d 6829 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈𝑊)))
20 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊𝑥 = 𝑊)
2119, 20eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊))
2221imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑊 → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)))
23 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2423frmd0 17598 . . . . 5 ∅ = (0g𝑀)
2524gsum0 17479 . . . 4 (𝑀 Σg ∅) = ∅
2625a1i 11 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)
27 oveq1 6820 . . . . . 6 ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
28 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29 simprr 813 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑧𝐼)
3029s1cld 13573 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼)
31 frmdgsum.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (varFMnd𝐼)
3231vrmdf 17596 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
34 ccatco 13781 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
3528, 30, 33, 34syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
36 s1co 13779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈𝑧)”⟩)
3729, 33, 36syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈𝑧)”⟩)
3831vrmdval 17595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑧𝐼) → (𝑈𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
3938adantrl 754 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
4039s1eqd 13571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“(𝑈𝑧)”⟩ = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
4137, 40eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
4241oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
4335, 42eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
4443oveq2d 6829 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
4523frmdmnd 17597 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
4645adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
47 wrdco 13777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
4828, 33, 47syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5023, 49frmdbas 17590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
52 wrdeq 13513 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝑀) = Word 𝐼 → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
5448, 53eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀))
5530, 51eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀))
5655s1cld 13573 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀))
57 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑀) = (+g𝑀)
5849, 57gsumccat 17579 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀) ∧ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
5946, 54, 56, 58syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
6049gsumws1 17577 . . . . . . . . . . . 12 (⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
6261oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩))
6349gsumwcl 17578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
6446, 54, 63syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
6523, 49, 57frmdadd 17593 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀) ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6664, 55, 65syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6762, 66eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6859, 67eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6944, 68eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
7069eqeq1d 2762 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) ↔ ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
7127, 70syl5ibr 236 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
7271expcom 450 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼) → (𝐼𝑉 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
7372a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼) → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦) → (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
747, 12, 17, 22, 26, 73wrdind 13676 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐼 → (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊))
7574impcom 445 1 ((𝐼𝑉𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∅c0 4058   ∘ ccom 5270  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Word cword 13477   ++ cconcat 13479  ⟨“cs1 13480  Basecbs 16059  +gcplusg 16143   Σg cgsu 16303  Mndcmnd 17495  freeMndcfrmd 17585  varFMndcvrmd 17586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-frmd 17587  df-vrmd 17588 This theorem is referenced by:  frmdss2  17601  frmdup3lem  17604  frgpup3lem  18390
 Copyright terms: Public domain W3C validator