MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdss2 17447
Description: A subset of generators is contained in a submonoid iff the set of words on the generators is in the submonoid. This can be viewed as an elementary way of saying "the monoidal closure of 𝐽 is Word 𝐽". (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdss2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴 ↔ Word 𝐽𝐴))

Proof of Theorem frmdss2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝐼𝑉)
2 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝐽𝐼)
3 sswrd 13345 . . . . . . . . 9 (𝐽𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
5 simprr 811 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥 ∈ Word 𝐽)
64, 5sseldd 3637 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
7 frmdmnd.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
8 frmdgsum.u . . . . . . . 8 𝑈 = (varFMnd𝐼)
97, 8frmdgsum 17446 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
101, 6, 9syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
11 simpl3 1086 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))
12 wrdf 13342 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑥:(0..^(#‘𝑥))⟶𝐽)
1312ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥:(0..^(#‘𝑥))⟶𝐽)
14 frn 6091 . . . . . . . . . 10 (𝑥:(0..^(#‘𝑥))⟶𝐽 → ran 𝑥𝐽)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ran 𝑥𝐽)
16 cores 5676 . . . . . . . . 9 (ran 𝑥𝐽 → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) = (𝑈𝑥))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) = (𝑈𝑥))
188vrmdf 17442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
19183ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
20 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈:𝐼⟶Word 𝐼𝑈 Fn 𝐼)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝑈 Fn 𝐼)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑈 Fn 𝐼)
23 fnssres 6042 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 Fn 𝐼𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) Fn 𝐽)
2422, 2, 23syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝐽) Fn 𝐽)
25 df-ima 5156 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝐽) = ran (𝑈𝐽)
26 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴)
2725, 26syl5eqssr 3683 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ran (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴)
28 df-f 5930 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝐽):𝐽𝐴 ↔ ((𝑈𝐽) Fn 𝐽 ∧ ran (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴))
2924, 27, 28sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝐽):𝐽𝐴)
30 wrdco 13623 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ (𝑈𝐽):𝐽𝐴) → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) ∈ Word 𝐴)
315, 29, 30syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) ∈ Word 𝐴)
3217, 31eqeltrrd 2731 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐴)
33 gsumwsubmcl 17422 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) ∈ 𝐴)
3411, 32, 33syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) ∈ 𝐴)
3510, 34eqeltrrd 2731 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥𝐴)
3635expr 642 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑥𝐴))
3736ssrdv 3642 . . 3 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴) → Word 𝐽𝐴)
3837ex 449 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴 → Word 𝐽𝐴))
39 simpl1 1084 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝐼𝑉)
40 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝐽𝐼)
4140sselda 3636 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐼)
428vrmdval 17441 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑥𝐼) → (𝑈𝑥) = ⟨“𝑥”⟩)
4339, 41, 42syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑈𝑥) = ⟨“𝑥”⟩)
44 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
4544s1cld 13419 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐽)
4643, 45eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽)
4746ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ∀𝑥𝐽 (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽)
48 fnfun 6026 . . . . . 6 (𝑈 Fn 𝐼 → Fun 𝑈)
4921, 48syl 17 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → Fun 𝑈)
50 fndm 6028 . . . . . . 7 (𝑈 Fn 𝐼 → dom 𝑈 = 𝐼)
5121, 50syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → dom 𝑈 = 𝐼)
5240, 51sseqtr4d 3675 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝐽 ⊆ dom 𝑈)
53 funimass4 6286 . . . . 5 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → ((𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽))
5449, 52, 53syl2anc 694 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽))
5547, 54mpbird 247 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽)
56 sstr2 3643 . . 3 ((𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽 → (Word 𝐽𝐴 → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴))
5755, 56syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (Word 𝐽𝐴 → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴))
5838, 57impbid 202 1 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴 ↔ Word 𝐽𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  ccom 5147  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs1 13326   Σg cgsu 16148  SubMndcsubmnd 17381  freeMndcfrmd 17431  varFMndcvrmd 17432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-frmd 17433  df-vrmd 17434
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator