MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdval 17369
Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdval.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdval.b (𝐼𝑉𝐵 = Word 𝐼)
frmdval.p + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
Assertion
Ref Expression
frmdval (𝐼𝑉𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

Proof of Theorem frmdval
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdval.m . 2 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2 df-frmd 17367 . . . 4 freeMnd = (𝑖 ∈ V ↦ {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩})
32a1i 11 . . 3 (𝐼𝑉 → freeMnd = (𝑖 ∈ V ↦ {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩}))
4 wrdeq 13310 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → Word 𝑖 = Word 𝐼)
5 frmdval.b . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐵 = Word 𝐼)
65eqcomd 2626 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → Word 𝐼 = 𝐵)
74, 6sylan9eqr 2676 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑖 = 𝐼) → Word 𝑖 = 𝐵)
87opeq2d 4400 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑖 = 𝐼) → ⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩)
97sqxpeqd 5131 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑖 = 𝐼) → (Word 𝑖 × Word 𝑖) = (𝐵 × 𝐵))
109reseq2d 5385 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11 frmdval.p . . . . . 6 + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
1210, 11syl6eqr 2672 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = + )
1312opeq2d 4400 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑖 = 𝐼) → ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩)
148, 13preq12d 4267 . . 3 ((𝐼𝑉𝑖 = 𝐼) → {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
15 elex 3207 . . 3 (𝐼𝑉𝐼 ∈ V)
16 prex 4900 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝐼𝑉 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V)
183, 14, 15, 17fvmptd 6275 . 2 (𝐼𝑉 → (freeMnd‘𝐼) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
191, 18syl5eq 2666 1 (𝐼𝑉𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  {cpr 4170  cop 4174  cmpt 4720   × cxp 5102  cres 5106  cfv 5876  Word cword 13274   ++ cconcat 13276  ndxcnx 15835  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  freeMndcfrmd 17365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-frmd 17367
This theorem is referenced by:  frmdbas  17370  frmdplusg  17372
  Copyright terms: Public domain W3C validator