Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmin 31867
Description: Every (possibly proper) subclass of a class 𝐴 with a founded, set-like relation 𝑅 has a minimal element. Lemma 4.3 of Don Monk's notes for Advanced Set Theory, which can be found at http://euclid.colorado.edu/~monkd/settheory. This is a very strong generalization of tz6.26 5749 and tz7.5 5782. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
frmin (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem frmin
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frss 5110 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Fr 𝐵))
2 sess2 5112 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝑅 Se 𝐴𝑅 Se 𝐵))
31, 2anim12d 585 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵)))
4 n0 3964 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
5 predeq3 5722 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
65eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅))
76rspcev 3340 . . . . . . . . 9 ((𝑏𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
87ex 449 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵 → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
98adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
10 setlikespec 5739 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V)
11 trpredpred 31852 . . . . . . . . . . . . 13 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
12 ssn0 4009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)
1312ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
15 trpredss 31853 . . . . . . . . . . . 12 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
1614, 15jctild 565 . . . . . . . . . . 11 (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
1710, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
19 trpredex 31861 . . . . . . . . . . 11 TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V
20 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (𝑐𝐵 ↔ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵))
21 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (𝑐 ≠ ∅ ↔ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
2220, 21anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) ↔ (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
23 predeq2 5721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
2423eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
2524rexeqbi1dv 3177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
2622, 25imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅) ↔ ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅)))
2726imbi2d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → ((𝑅 Fr 𝐵 → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅)) ↔ (𝑅 Fr 𝐵 → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))))
28 dffr4 5734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Fr 𝐵 ↔ ∀𝑐((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
29 sp 2091 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑐((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅) → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
3028, 29sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 Fr 𝐵 → ((𝑐𝐵𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
3119, 27, 30vtocl 3290 . . . . . . . . . 10 (𝑅 Fr 𝐵 → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
3210, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
34 trpredtr 31854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)))
3534imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
36 sspred 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
3733, 35, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
3837eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
3938biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → (Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4039reximdva 3046 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
41 ssrexv 3700 . . . . . . . . . . 11 (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4232, 40, 41sylsyld 61 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4331, 42sylan9r 691 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4418, 43syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑏𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4544an31s 865 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
469, 45pm2.61dne 2909 . . . . . 6 (((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
4746ex 449 . . . . 5 ((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) → (𝑏𝐵 → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
4847exlimdv 1901 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑏 𝑏𝐵 → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
494, 48syl5bi 232 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐵𝑅 Se 𝐵) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
503, 49syl6com 37 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝐵𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)))
5150imp32 448 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   Fr wfr 5099   Se wse 5100  Predcpred 5717  TrPredctrpred 31841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-trpred 31842
This theorem is referenced by:  frind  31868
  Copyright terms: Public domain W3C validator