MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frnfsuppbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frnfsuppbi 8850
Description: Two ways of saying that a function with known codomain is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
frnfsuppbi ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin)))

Proof of Theorem frnfsuppbi
StepHypRef Expression
1 ffun 6510 . . . . 5 (𝐹:𝐼𝑆 → Fun 𝐹)
21adantl 482 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → Fun 𝐹)
3 fex 6980 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐼𝑆𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ V)
43expcom 414 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝐼𝑆𝐹 ∈ V))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆𝐹 ∈ V))
65imp 407 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → 𝐹 ∈ V)
7 simplr 765 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → 𝑍𝑊)
8 funisfsupp 8826 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
92, 6, 7, 8syl3anc 1363 . . 3 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
10 frnsuppeq 7831 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍}))))
1110imp 407 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})))
1211eleq1d 2894 . . 3 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
139, 12bitrd 280 . 2 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
1413ex 413 1 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cdif 3930  {csn 4557   class class class wbr 5057  ccnv 5547  cima 5551  Fun wfun 6342  wf 6344  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-supp 7820  df-fsupp 8822
This theorem is referenced by:  frnnn0fsupp  11942
  Copyright terms: Public domain W3C validator