Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseqsupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fseqsupcl 12771
 Description: The values of a finite real sequence have a supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fseqsupcl ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem fseqsupcl
StepHypRef Expression
1 frn 6051 . . 3 (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
21adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
3 fzfi 12766 . . . 4 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
4 ffn 6043 . . . . . 6 (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
54adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
6 dffn4 6119 . . . . 5 (𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ↔ 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹)
75, 6sylib 208 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹)
8 fofi 8249 . . . 4 (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
93, 7, 8sylancr 695 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
10 fdm 6049 . . . . . 6 (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
12 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
13 fzn0 12352 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
1412, 13sylibr 224 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
1511, 14eqnetrd 2860 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → dom 𝐹 ≠ ∅)
16 dm0rn0 5340 . . . . 5 (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
1716necon3bii 2845 . . . 4 (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
1815, 17sylib 208 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ≠ ∅)
19 ltso 10115 . . . 4 < Or ℝ
20 fisupcl 8372 . . . 4 (( < Or ℝ ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
2119, 20mpan 706 . . 3 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
229, 18, 2, 21syl3anc 1325 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
232, 22sseldd 3602 1 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793   ⊆ wss 3572  ∅c0 3913   Or wor 5032  dom cdm 5112  ran crn 5113   Fn wfn 5881  ⟶wf 5882  –onto→wfo 5884  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Fincfn 7952  supcsup 8343  ℝcr 9932   < clt 10071  ℤ≥cuz 11684  ...cfz 12323 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator