MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsequb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsequb 12966
Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsequb (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem fsequb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12963 . . 3 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
2 fimaxre3 11160 . . 3 (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦)
31, 2mpan 708 . 2 (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦)
4 r19.26 3200 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≤ 𝑦) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦))
5 peano2re 10399 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
6 ltp1 11051 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
76adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
105adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
11 lelttr 10318 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘) ≤ 𝑦𝑦 < (𝑦 + 1)) → (𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
128, 9, 10, 11syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘) ≤ 𝑦𝑦 < (𝑦 + 1)) → (𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
137, 12mpan2d 712 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑦 → (𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
1413expimpd 630 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≤ 𝑦) → (𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
1514ralimdv 3099 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≤ 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
16 breq2 4806 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹𝑘) < 𝑥 ↔ (𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
1716ralbidv 3122 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
1817rspcev 3447 . . . . . . 7 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥)
195, 15, 18syl6an 569 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥))
204, 19syl5bir 233 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥))
2120expd 451 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥)))
2221impcom 445 . . 3 ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥))
2322rexlimdva 3167 . 2 (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥))
243, 23mpd 15 1 (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wral 3048  wrex 3049   class class class wbr 4802  cfv 6047  (class class class)co 6811  Fincfn 8119  cr 10125  1c1 10127   + caddc 10129   < clt 10264  cle 10265  ...cfz 12517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator