MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsets Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsets 15812
Description: The structure replacement function is a function. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsets (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵)

Proof of Theorem fsets
StepHypRef Expression
1 difss 3715 . . . . . 6 (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴
2 fssres 6027 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
31, 2mpan2 706 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
4 resres 5368 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})))
5 invdif 3844 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})) = (𝐴 ∖ {𝑋})
65reseq2i 5353 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋}))) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
74, 6eqtri 2643 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
8 ffn 6002 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
9 fnresdm 5958 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1110reseq1d 5355 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
127, 11syl5reqr 2670 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})))
1312feq1d 5987 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵))
143, 13mpbird 247 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
1514adantl 482 . . 3 ((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
16 fsnunf2 6406 . . 3 (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵)
1715, 16syl3an1 1356 . 2 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵)
18 simp1l 1083 . . 3 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → 𝐹𝑉)
19 simp3 1061 . . 3 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
20 setsval 15809 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2120feq1d 5987 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵))
2218, 19, 21syl2anc 692 . 2 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵))
2317, 22mpbird 247 1 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  {csn 4148  cop 4154  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  (class class class)co 6604   sSet csts 15779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-sets 15787
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  20345
  Copyright terms: Public domain W3C validator