MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsnd 6177
Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsnd.a (𝜑𝐴𝑉)
fsnd.b (𝜑𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
fsnd (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Proof of Theorem fsnd
StepHypRef Expression
1 fsnd.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 fsnd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
31, 2jca 554 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
4 f1sng 6176 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊)
5 f1f 6099 . 2 ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
63, 4, 53syl 18 1 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1989  {csn 4175  cop 4181  wf 5882  1-1wf1 5883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pr 4904
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-br 4652  df-opab 4711  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893
This theorem is referenced by:  1fv  12454  snopiswrd  13309  frgpcyg  19916  mat1dimmul  20276  pt1hmeo  21603  upgr1e  26002  1hevtxdg1  26396  wlkp1  26572  reprsuc  30678  breprexplema  30693  nnsum3primesprm  41449
  Copyright terms: Public domain W3C validator