Theorem fsum0diag2 7202

Description: Two ways to express "the sum of A(j) · B(k) where j + k ≤ N."

Assertion

Ref	Expression
fsum0diag2	⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ ∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → Σj ∈ (0...N)Σk ∈ (0...(N − j))(A · B) = Σj ∈ (0...N)Σk ∈ (0...j)([(j − k) / j]A · B))

Distinct variable groups:   A,k   B,j   j,k,N

Proof of Theorem fsum0diag2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsum0diag 7201	. 2 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ ∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → Σj ∈ (0...N)Σk ∈ (0...(N − j))(A · B) = Σk ∈ (0...N)Σj ∈ (0...k)(A · [(k − j) / k]B))
2		fsumrev 6975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((m ∈ (ℤ≥ ‘0) ⋀ m ∈ ℤ ⋀ ∀j ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ) → Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) = Σn ∈ ((m − m)...(m − 0))[(m − n) / j](A · [(m − j) / k]B))
3		elfzuzt 6428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (m ∈ (0...N) → m ∈ (ℤ≥ ‘0))
4	3	adantl 388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ)) ⋀ m ∈ (0...N)) → m ∈ (ℤ≥ ‘0))
5		elfzelz 6422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (m ∈ (0...N) → m ∈ ℤ)
6	5	adantl 388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ)) ⋀ m ∈ (0...N)) → m ∈ ℤ)
7		elfzuz3t 6418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) → N ∈ (ℤ≥ ‘m))
8		0z 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		fzss2t 6444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((N ∈ (ℤ≥ ‘m) ⋀ 0 ∈ ℤ) → (0...m) ⊆ (0...N))
10	8, 9	mpan2 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘m) → (0...m) ⊆ (0...N))
11	7, 10	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) → (0...m) ⊆ (0...N))
12	11	sseld 2063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) → (j ∈ (0...m) → j ∈ (0...N)))
13	12	imim1d 28	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) → ((j ∈ (0...N) → A ∈ ℂ) → (j ∈ (0...m) → A ∈ ℂ)))
14	13	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → ((j ∈ (0...N) → A ∈ ℂ) → (j ∈ (0...m) → A ∈ ℂ)))
15		axmulcl 5253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ [(m − j) / k]B ∈ ℂ) → (A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ)
16		ra4csbela 2038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((m − j) ∈ (0...N) ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → [(m − j) / k]B ∈ ℂ)
17	11	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ j ∈ (0...m)) → (0...m) ⊆ (0...N))
18		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ m ∈ V
19		fznn0sub2t 6439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((m ∈ V ⋀ j ∈ (0...m)) → (m − j) ∈ (0...m))
20	18, 19	mpan 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (j ∈ (0...m) → (m − j) ∈ (0...m))
21	20	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ j ∈ (0...m)) → (m − j) ∈ (0...m))
22	17, 21	sseldd 2064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ j ∈ (0...m)) → (m − j) ∈ (0...N))
23	16, 22	sylan 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ j ∈ (0...m)) ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → [(m − j) / k]B ∈ ℂ)
24	23	an1rs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) ⋀ j ∈ (0...m)) → [(m − j) / k]B ∈ ℂ)
25	15, 24	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) ⋀ j ∈ (0...m))) → (A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ)
26	25	exp32 377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (A ∈ ℂ → (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → (j ∈ (0...m) → (A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ)))
27	26	com3l 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → (j ∈ (0...m) → (A ∈ ℂ → (A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ)))
28	27	a2d 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → ((j ∈ (0...m) → A ∈ ℂ) → (j ∈ (0...m) → (A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ)))
29	14, 28	syld 27	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → ((j ∈ (0...N) → A ∈ ℂ) → (j ∈ (0...m) → (A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ)))
30	29	r19.20dv2 1708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ → ∀j ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ))
31	30	exp31 376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (m ∈ (0...N) → (∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ → (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ → ∀j ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ))))
32	31	com24 37	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (N ∈ ℕ0 → (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ → (∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ → (m ∈ (0...N) → ∀j ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ))))
33	32	imp42 369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ)) ⋀ m ∈ (0...N)) → ∀j ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) ∈ ℂ)
34	2, 4, 6, 33	syl3anc 857	. . . . . . . . 9 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ)) ⋀ m ∈ (0...N)) → Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) = Σn ∈ ((m − m)...(m − 0))[(m − n) / j](A · [(m − j) / k]B))
35		zcnt 6095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (m ∈ ℤ → m ∈ ℂ)
36	5, 35	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (m ∈ (0...N) → m ∈ ℂ)
37		subidt 5375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (m ∈ ℂ → (m − m) = 0)
38		subid1t 5376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (m ∈ ℂ → (m − 0) = m)
39	37, 38	opreq12d 3969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (m ∈ ℂ → ((m − m)...(m − 0)) = (0...m))
40	36, 39	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (m ∈ (0...N) → ((m − m)...(m − 0)) = (0...m))
41	40	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) → ((m − m)...(m − 0)) = (0...m))
42		nncant 5449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((m ∈ ℂ ⋀ n ∈ ℂ) → (m − (m − n)) = n)
43	18	elfzel2 6419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (n ∈ (0...m) → m ∈ ℤ)
44	43, 35	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (n ∈ (0...m) → m ∈ ℂ)
45		elfzelz 6422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (n ∈ (0...m) → n ∈ ℤ)
46		zcnt 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (n ∈ ℤ → n ∈ ℂ)
47	45, 46	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (n ∈ (0...m) → n ∈ ℂ)
48	42, 44, 47	sylanc 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (n ∈ (0...m) → (m − (m − n)) = n)
49	48	csbeq1d 2000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (n ∈ (0...m) → [(m − (m − n)) / k]B = [n / k]B)
50	49	opreq2d 3967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (n ∈ (0...m) → ([(m − n) / j]A · [(m − (m − n)) / k]B) = ([(m − n) / j]A · [n / k]B))
51	50	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ n ∈ (0...m)) → ([(m − n) / j]A · [(m − (m − n)) / k]B) = ([(m − n) / j]A · [n / k]B))
52		oprex 3974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (m − n) ∈ V
53		csbopr12g 3978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((m − n) ∈ V → [(m − n) / j](A · [(m − j) / k]B) = ([(m − n) / j]A · [(m − n) / j][(m − j) / k]B))
54	52, 53	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ [(m − n) / j](A · [(m − j) / k]B) = ([(m − n) / j]A · [(m − n) / j][(m − j) / k]B)
55		oprex 3974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (m − j) ∈ V
56	55	ax-gen 961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∀j(m − j) ∈ V
57		opreq2 3960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (j = (m − n) → (m − j) = (m − (m − n)))
58	57	csbco3g 2036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((m − n) ∈ V ⋀ ∀j(m − j) ∈ V) → [(m − n) / j][(m − j) / k]B = [(m − (m − n)) / k]B)
59	52, 56, 58	mp2an 696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ [(m − n) / j][(m − j) / k]B = [(m − (m − n)) / k]B
60	59	opreq2i 3963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(m − n) / j]A · [(m − n) / j][(m − j) / k]B) = ([(m − n) / j]A · [(m − (m − n)) / k]B)
61	54, 60	eqtr 1492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ [(m − n) / j](A · [(m − j) / k]B) = ([(m − n) / j]A · [(m − (m − n)) / k]B)
62	51, 61	syl5eq 1516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) ⋀ n ∈ (0...m)) → [(m − n) / j](A · [(m − j) / k]B) = ([(m − n) / j]A · [n / k]B))
63	41, 62	sumeq12rdv 6942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ m ∈ (0...N)) → Σn ∈ ((m − m)...(m − 0))[(m − n) / j](A · [(m − j) / k]B) = Σn ∈ (0...m)([(m − n) / j]A · [n / k]B))
64	63	adantlr 393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ)) ⋀ m ∈ (0...N)) → Σn ∈ ((m − m)...(m − 0))[(m − n) / j](A · [(m − j) / k]B) = Σn ∈ (0...m)([(m − n) / j]A · [n / k]B))
65	34, 64	eqtrd 1504	. . . . . . . 8 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ)) ⋀ m ∈ (0...N)) → Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) = Σn ∈ (0...m)([(m − n) / j]A · [n / k]B))
66		ax-17 969	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ([(m − k) / j]A · B) → ∀n x ∈ ([(m − k) / j]A · B))
67		ax-17 969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ [(m − n) / j]A → ∀k x ∈ [(m − n) / j]A)
68		ax-17 969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ · → ∀k x ∈ · )
69		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ n ∈ V
70		ax-17 969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ n → ∀k x ∈ n)
71	69, 70	hbcsb1 2021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ [n / k]B → ∀k x ∈ [n / k]B)
72	67, 68, 71	hbopr 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ([(m − n) / j]A · [n / k]B) → ∀k x ∈ ([(m − n) / j]A · [n / k]B))
73		opreq2 3960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (k = n → (m − k) = (m − n))
74	73	csbeq1d 2000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (k = n → [(m − k) / j]A = [(m − n) / j]A)
75		csbeq1a 2002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (k = n → B = [n / k]B)
76	74, 75	opreq12d 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ (k = n → ([(m − k) / j]A · B) = ([(m − n) / j]A · [n / k]B))
77	66, 72, 76	cbvsum 6932	. . . . . . . 8 ⊢ Σk ∈ (0...m)([(m − k) / j]A · B) = Σn ∈ (0...m)([(m − n) / j]A · [n / k]B)
78	65, 77	syl6eqr 1522	. . . . . . 7 ⊢ (((N ∈ ℕ0 ⋀ (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ)) ⋀ m ∈ (0...N)) → Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) = Σk ∈ (0...m)([(m − k) / j]A · B))
79	78	ex 373	. . . . . 6 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ (∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ)) → (m ∈ (0...N) → Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) = Σk ∈ (0...m)([(m − k) / j]A · B)))
80	79	3impb 828	. . . . 5 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ ∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → (m ∈ (0...N) → Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) = Σk ∈ (0...m)([(m − k) / j]A · B)))
81	80	r19.21aiv 1710	. . . 4 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ ∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → ∀m ∈ (0...N)Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) = Σk ∈ (0...m)([(m − k) / j]A · B))
82	81	sumeq2d 6937	. . 3 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ ∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → Σm ∈ (0...N)Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) = Σm ∈ (0...N)Σk ∈ (0...m)([(m − k) / j]A · B))
83		ax-17 969	. . . 4 ⊢ (x ∈ Σj ∈ (0...k)(A · [(k − j) / k]B) → ∀m x ∈ Σj ∈ (0...k)(A · [(k − j) / k]B))
84		ax-17 969	. . . . 5 ⊢ (x ∈ (0...m) → ∀k x ∈ (0...m))
85		ax-17 969	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ A → ∀k x ∈ A)
86		ax-17 969	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (m − j) → ∀k x ∈ (m − j))
87	55, 86	hbcsb1 2021	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ [(m − j) / k]B → ∀k x ∈ [(m − j) / k]B)
88	85, 68, 87	hbopr 3972	. . . . 5 ⊢ (x ∈ (A · [(m − j) / k]B) → ∀k x ∈ (A · [(m − j) / k]B))
89	84, 88	hbsum 6930	. . . 4 ⊢ (x ∈ Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B) → ∀k x ∈ Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B))
90		opreq2 3960	. . . . 5 ⊢ (k = m → (0...k) = (0...m))
91		opreq1 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (k = m → (k − j) = (m − j))
92	91	csbeq1d 2000	. . . . . . 7 ⊢ (k = m → [(k − j) / k]B = [(m − j) / k]B)
93	92	opreq2d 3967	. . . . . 6 ⊢ (k = m → (A · [(k − j) / k]B) = (A · [(m − j) / k]B))
94	93	adantr 389	. . . . 5 ⊢ ((k = m ⋀ j ∈ (0...m)) → (A · [(k − j) / k]B) = (A · [(m − j) / k]B))
95	90, 94	sumeq12rdv 6942	. . . 4 ⊢ (k = m → Σj ∈ (0...k)(A · [(k − j) / k]B) = Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B))
96	83, 89, 95	cbvsum 6932	. . 3 ⊢ Σk ∈ (0...N)Σj ∈ (0...k)(A · [(k − j) / k]B) = Σm ∈ (0...N)Σj ∈ (0...m)(A · [(m − j) / k]B)
97		ax-17 969	. . . 4 ⊢ (x ∈ Σk ∈ (0...j)([(j − k) / j]A · B) → ∀m x ∈ Σk ∈ (0...j)([(j − k) / j]A · B))
98		ax-17 969	. . . . 5 ⊢ (x ∈ (0...m) → ∀j x ∈ (0...m))
99		oprex 3974	. . . . . . 7 ⊢ (m − k) ∈ V
100		ax-17 969	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (m − k) → ∀j x ∈ (m − k))
101	99, 100	hbcsb1 2021	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ [(m − k) / j]A → ∀j x ∈ [(m − k) / j]A)
102		ax-17 969	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ · → ∀j x ∈ · )
103		ax-17 969	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ B → ∀j x ∈ B)
104	101, 102, 103	hbopr 3972	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ([(m − k) / j]A · B) → ∀j x ∈ ([(m − k) / j]A · B))
105	98, 104	hbsum 6930	. . . 4 ⊢ (x ∈ Σk ∈ (0...m)([(m − k) / j]A · B) → ∀j x ∈ Σk ∈ (0...m)([(m − k) / j]A · B))
106		opreq2 3960	. . . . 5 ⊢ (j = m → (0...j) = (0...m))
107		opreq1 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (j = m → (j − k) = (m − k))
108	107	csbeq1d 2000	. . . . . . 7 ⊢ (j = m → [(j − k) / j]A = [(m − k) / j]A)
109	108	opreq1d 3966	. . . . . 6 ⊢ (j = m → ([(j − k) / j]A · B) = ([(m − k) / j]A · B))
110	109	adantr 389	. . . . 5 ⊢ ((j = m ⋀ k ∈ (0...m)) → ([(j − k) / j]A · B) = ([(m − k) / j]A · B))
111	106, 110	sumeq12rdv 6942	. . . 4 ⊢ (j = m → Σk ∈ (0...j)([(j − k) / j]A · B) = Σk ∈ (0...m)([(m − k) / j]A · B))
112	97, 105, 111	cbvsum 6932	. . 3 ⊢ Σj ∈ (0...N)Σk ∈ (0...j)([(j − k) / j]A · B) = Σm ∈ (0...N)Σk ∈ (0...m)([(m − k) / j]A · B)
113	82, 96, 112	3eqtr4g 1528	. 2 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ ∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → Σk ∈ (0...N)Σj ∈ (0...k)(A · [(k − j) / k]B) = Σj ∈ (0...N)Σk ∈ (0...j)([(j − k) / j]A · B))
114	1, 113	eqtrd 1504	1 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ ∀j ∈ (0...N)A ∈ ℂ ⋀ ∀k ∈ (0...N)B ∈ ℂ) → Σj ∈ (0...N)Σk ∈ (0...(N − j))(A · B) = Σj ∈ (0...N)Σk ∈ (0...j)([(j − k) / j]A · B))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 774  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∀wral 1642  Vcvv 1807  [csb 1997   ⊆ wss 2043   ‘cfv 3177  (class class class)co 3954  ℂcc 5212  0cc0 5214   · cmul 5219   − cmin 5272  ℕ₀cn0 5277  ℤcz 5278  ℤ_≥cuz 6357  ...cfz 6407  Σcsu 6925

This theorem is referenced by:  fsum0diag4 7204  efaddlem5 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-clim 6921  df-sum 6926

Copyright terms: Public domain