MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum0diaglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum0diaglem 15119
Description: Lemma for fsum0diag 15120. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fsum0diaglem ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘))))
Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑁

Proof of Theorem fsum0diaglem
StepHypRef Expression
1 elfzle1 12898 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑗)
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 0 ≤ 𝑗)
3 elfz3nn0 12989 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54nn0zd 12073 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
65zred 12075 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7 elfzelz 12896 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
98zred 12075 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
106, 9subge02d 11220 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → (0 ≤ 𝑗 ↔ (𝑁𝑗) ≤ 𝑁))
112, 10mpbid 233 . . . . 5 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → (𝑁𝑗) ≤ 𝑁)
125, 8zsubcld 12080 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → (𝑁𝑗) ∈ ℤ)
13 eluz 12245 . . . . . 6 (((𝑁𝑗) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝑗)) ↔ (𝑁𝑗) ≤ 𝑁))
1412, 5, 13syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝑗)) ↔ (𝑁𝑗) ≤ 𝑁))
1511, 14mpbird 258 . . . 4 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝑗)))
16 fzss2 12935 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝑗)) → (0...(𝑁𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → (0...(𝑁𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
18 simpr 485 . . 3 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗)))
1917, 18sseldd 3965 . 2 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20 elfzelz 12896 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2120adantl 482 . . . . 5 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
2221zred 12075 . . . 4 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑘 ∈ ℝ)
23 elfzle2 12899 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗)) → 𝑘 ≤ (𝑁𝑗))
2423adantl 482 . . . 4 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑘 ≤ (𝑁𝑗))
2522, 6, 9, 24lesubd 11232 . . 3 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑗 ≤ (𝑁𝑘))
26 elfzuz 12892 . . . . 5 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
2726adantr 481 . . . 4 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
285, 21zsubcld 12080 . . . 4 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
29 elfz5 12888 . . . 4 ((𝑗 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁𝑘)))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . 3 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁𝑘)))
3125, 30mpbird 258 . 2 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → 𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘)))
3219, 31jca 512 1 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  cle 10664  cmin 10858  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  fsum0diag  15120  fprod0diag  15328
  Copyright terms: Public domain W3C validator