MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2cn 22429
Description: Version of fsumcn 22428 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
fsum2cn.8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsum2cn (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥,𝑦   𝑘,𝐿   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2750 . . . 4 𝑢Σ𝑘𝐴 𝐵
2 nfcv 2750 . . . 4 𝑣Σ𝑘𝐴 𝐵
3 nfcv 2750 . . . . 5 𝑥𝐴
4 nfcv 2750 . . . . . 6 𝑥𝑣
5 nfcsb1v 3514 . . . . . 6 𝑥𝑢 / 𝑥𝐵
64, 5nfcsb 3516 . . . . 5 𝑥𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
73, 6nfsum 14217 . . . 4 𝑥Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
8 nfcv 2750 . . . . 5 𝑦𝐴
9 nfcsb1v 3514 . . . . 5 𝑦𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
108, 9nfsum 14217 . . . 4 𝑦Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
11 csbeq1a 3507 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
12 csbeq1a 3507 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
1311, 12sylan9eq 2663 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → 𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
1413sumeq2sdv 14230 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
151, 2, 7, 10, 14cbvmpt2 6609 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
16 vex 3175 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
17 vex 3175 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
1816, 17op2ndd 7047 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) = 𝑣)
1918csbeq1d 3505 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
2016, 17op1std 7046 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st𝑧) = 𝑢)
2120csbeq1d 3505 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
2221csbeq2dv 3943 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → 𝑣 / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2319, 22eqtrd 2643 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2423sumeq2sdv 14230 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2524mpt2mpt 6627 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2615, 25eqtr4i 2634 . 2 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
27 fsumcn.3 . . 3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28 fsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29 fsum2cn.7 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
30 txtopon 21151 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
3128, 29, 30syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
32 fsumcn.5 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
33 nfcv 2750 . . . . . 6 𝑢𝐵
34 nfcv 2750 . . . . . 6 𝑣𝐵
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpt2 6609 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
3623mpt2mpt 6627 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
3735, 36eqtr4i 2634 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
38 fsum2cn.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
3937, 38syl5eqelr 2692 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
4027, 31, 32, 39fsumcn 22428 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
4126, 40syl5eqel 2691 1 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  csb 3498  cop 4130  cmpt 4637   × cxp 5025  cfv 5789  (class class class)co 6526  cmpt2 6528  1st c1st 7034  2nd c2nd 7035  Fincfn 7818  Σcsu 14212  TopOpenctopn 15853  fldccnfld 19515  TopOnctopon 20465   Cn ccn 20785   ×t ctx 21120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-sum 14213  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-hom 15741  df-cco 15742  df-rest 15854  df-topn 15855  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-topgen 15875  df-pt 15876  df-prds 15879  df-xrs 15933  df-qtop 15938  df-imas 15939  df-xps 15941  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-mulg 17312  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-cnfld 19516  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-topsp 20471  df-cn 20788  df-cnp 20789  df-tx 21122  df-hmeo 21315  df-xms 21882  df-ms 21883  df-tms 21884
This theorem is referenced by:  dipcn  26752
  Copyright terms: Public domain W3C validator