MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcl 15078
Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumcl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 3987 . 2 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2 addcl 10607 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
32adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fsumcl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 0cnd 10622 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
71, 3, 4, 5, 6fsumcllem 15077 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523   + caddc 10528  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  fsum2dlem  15113  fsum0diag2  15126  fsummulc1  15128  fsumdivc  15129  fsumneg  15130  fsumsub  15131  fsum2mul  15132  fsumabs  15144  telfsumo  15145  fsumparts  15149  o1fsum  15156  cvgcmpce  15161  climfsum  15163  fsumiun  15164  binom1dif  15176  incexclem  15179  incexc  15180  isumsplit  15183  arisum2  15204  geoserg  15209  pwdif  15211  pwm1geoserOLD  15213  mertenslem1  15228  mertens  15230  binomfallfaclem2  15382  bpolycl  15394  bpolysum  15395  bpolydiflem  15396  fsumkthpow  15398  fprodefsum  15436  eirrlem  15545  pwp1fsum  15730  pcfac  16223  sylow2a  18673  itg1addlem5  24228  itgcl  24311  dvmptfsum  24499  dvfsumabs  24547  dvfsumlem1  24550  plyf  24715  plymullem1  24731  coeeulem  24741  coemullem  24767  plycjlem  24793  taylpf  24881  mtest  24919  mtestbdd  24920  pserdvlem2  24943  abelthlem6  24951  abelthlem7  24953  advlogexp  25165  log2tlbnd  25450  birthdaylem2  25457  fsumharmonic  25516  lgamcvg2  25559  ftalem1  25577  ftalem5  25581  sgmf  25649  chtdif  25662  fsumdvdscom  25689  fsumdvdsmul  25699  logexprlim  25728  dchrsum2  25771  sumdchr2  25773  rpvmasumlem  25990  dchrisumlem1  25992  dchrisumlem2  25993  dchrisum  25995  dchrmusum2  25997  dchrvmasum2if  26000  dchrvmasumlem3  26002  dchrvmasumiflem1  26004  dchrvmasumiflem2  26005  rpvmasum2  26015  dchrisum0lem1b  26018  dchrisum0lem1  26019  dchrisum0lem2a  26020  dchrisum0lem2  26021  dchrisum0lem3  26022  dchrmusumlem  26025  dchrvmasumlem  26026  mudivsum  26033  mulogsumlem  26034  mulogsum  26035  mulog2sumlem1  26037  mulog2sumlem2  26038  mulog2sumlem3  26039  vmalogdivsum  26042  logsqvma  26045  selberglem1  26048  selberglem2  26049  selberg2lem  26053  selberg2  26054  selberg3lem1  26060  pntrsumo1  26068  pntrsumbnd  26069  selbergr  26071  selberg4r  26073  pntrlog2bndlem2  26081  pntrlog2bndlem4  26083  pntrlog2bndlem5  26084  pntlemo  26110  ax5seglem6  26647  axlowdimlem16  26670  finsumvtxdg2ssteplem4  27257  dipcl  28416  indsumin  31180  esumcvg  31244  fsum2dsub  31777  reprsuc  31785  breprexplemc  31802  breprexp  31803  breprexpnat  31804  vtscl  31808  circlemeth  31810  hgt750lemd  31818  tgoldbachgtde  31830  subfacval2  32331  subfaclim  32332  fwddifnp1  33523  knoppndvlem11  33758  fltnltalem  39152  jm2.23  39471  fsumclf  41726  fsumsermpt  41736  sumnnodd  41787  dvnmul  42104  dvnprodlem1  42107  dvnprodlem2  42108  stoweidlem26  42188  dirkertrigeqlem2  42261  dirkeritg  42264  fourierdlem73  42341  fourierdlem83  42351  elaa2lem  42395  etransclem23  42419  etransclem27  42423  etransclem31  42427  etransclem33  42429  etransclem39  42435  etransclem46  42442  etransclem47  42443  etransclem48  42444  altgsumbcALT  44329  nn0sumshdiglemA  44607  amgmlemALT  44832
  Copyright terms: Public domain W3C validator