MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcl 14260
Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumcl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3587 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3 addcl 9875 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
43adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fsumcl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 0cnd 9890 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 14259 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wss 3540  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  cc 9791   + caddc 9796  Σcsu 14213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214
This theorem is referenced by:  fsum2dlem  14292  fsum0diag2  14306  fsummulc1  14308  fsumdivc  14309  fsumneg  14310  fsumsub  14311  fsum2mul  14312  fsumabs  14323  telfsumo  14324  fsumparts  14328  o1fsum  14335  cvgcmpce  14340  climfsum  14342  fsumiun  14343  binom1dif  14353  incexclem  14356  incexc  14357  isumsplit  14360  arisum2  14381  geoserg  14386  pwm1geoser  14388  mertenslem1  14404  mertens  14406  binomfallfaclem2  14559  bpolycl  14571  bpolysum  14572  bpolydiflem  14573  fsumkthpow  14575  fprodefsum  14613  eirrlem  14720  pwp1fsum  14901  pcfac  15390  sylow2a  17806  itg1addlem5  23218  itgcl  23301  dvmptfsum  23487  dvfsumabs  23535  dvfsumlem1  23538  plyf  23703  plymullem1  23719  coeeulem  23729  coemullem  23755  plycjlem  23781  taylpf  23869  mtest  23907  mtestbdd  23908  pserdvlem2  23931  abelthlem6  23939  abelthlem7  23941  advlogexp  24146  log2tlbnd  24417  birthdaylem2  24424  fsumharmonic  24483  lgamcvg2  24526  ftalem1  24544  ftalem5  24548  sgmf  24616  chtdif  24629  fsumdvdscom  24656  fsumdvdsmul  24666  logexprlim  24695  dchrsum2  24738  sumdchr2  24740  rpvmasumlem  24921  dchrisumlem1  24923  dchrisumlem2  24924  dchrisum  24926  dchrmusum2  24928  dchrvmasum2if  24931  dchrvmasumlem3  24933  dchrvmasumiflem1  24935  dchrvmasumiflem2  24936  rpvmasum2  24946  dchrisum0lem1b  24949  dchrisum0lem1  24950  dchrisum0lem2a  24951  dchrisum0lem2  24952  dchrisum0lem3  24953  dchrmusumlem  24956  dchrvmasumlem  24957  mudivsum  24964  mulogsumlem  24965  mulogsum  24966  mulog2sumlem1  24968  mulog2sumlem2  24969  mulog2sumlem3  24970  vmalogdivsum  24973  logsqvma  24976  selberglem1  24979  selberglem2  24980  selberg2lem  24984  selberg2  24985  selberg3lem1  24991  pntrsumo1  24999  pntrsumbnd  25000  selbergr  25002  selberg4r  25004  pntrlog2bndlem2  25012  pntrlog2bndlem4  25014  pntrlog2bndlem5  25015  pntlemo  25041  ax5seglem6  25560  axlowdimlem16  25583  dipcl  26745  esumcvg  29269  subfacval2  30217  subfaclim  30218  fwddifnp1  31236  knoppndvlem11  31477  jm2.23  36375  fsumclf  38427  fsumsermpt  38440  sumnnodd  38491  dvnmul  38627  dvnprodlem1  38630  dvnprodlem2  38631  stoweidlem26  38713  dirkertrigeqlem2  38786  dirkeritg  38789  fourierdlem73  38866  fourierdlem83  38876  elaa2lem  38920  etransclem23  38944  etransclem27  38948  etransclem31  38952  etransclem33  38954  etransclem39  38960  etransclem46  38967  etransclem47  38968  etransclem48  38969  pwdif  39834  altgsumbcALT  41916  nn0sumshdiglemA  42203  amgmlemALT  42311
  Copyright terms: Public domain W3C validator