MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcl 14508
Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumcl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3657 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3 addcl 10056 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
43adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fsumcl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 0cnd 10071 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 14507 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  wss 3607  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972   + caddc 9977  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  fsum2dlem  14545  fsum0diag2  14559  fsummulc1  14561  fsumdivc  14562  fsumneg  14563  fsumsub  14564  fsum2mul  14565  fsumabs  14577  telfsumo  14578  fsumparts  14582  o1fsum  14589  cvgcmpce  14594  climfsum  14596  fsumiun  14597  binom1dif  14609  incexclem  14612  incexc  14613  isumsplit  14616  arisum2  14637  geoserg  14642  pwm1geoser  14644  mertenslem1  14660  mertens  14662  binomfallfaclem2  14815  bpolycl  14827  bpolysum  14828  bpolydiflem  14829  fsumkthpow  14831  fprodefsum  14869  eirrlem  14976  pwp1fsum  15161  pcfac  15650  sylow2a  18080  itg1addlem5  23512  itgcl  23595  dvmptfsum  23783  dvfsumabs  23831  dvfsumlem1  23834  plyf  23999  plymullem1  24015  coeeulem  24025  coemullem  24051  plycjlem  24077  taylpf  24165  mtest  24203  mtestbdd  24204  pserdvlem2  24227  abelthlem6  24235  abelthlem7  24237  advlogexp  24446  log2tlbnd  24717  birthdaylem2  24724  fsumharmonic  24783  lgamcvg2  24826  ftalem1  24844  ftalem5  24848  sgmf  24916  chtdif  24929  fsumdvdscom  24956  fsumdvdsmul  24966  logexprlim  24995  dchrsum2  25038  sumdchr2  25040  rpvmasumlem  25221  dchrisumlem1  25223  dchrisumlem2  25224  dchrisum  25226  dchrmusum2  25228  dchrvmasum2if  25231  dchrvmasumlem3  25233  dchrvmasumiflem1  25235  dchrvmasumiflem2  25236  rpvmasum2  25246  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem2a  25251  dchrisum0lem2  25252  dchrisum0lem3  25253  dchrmusumlem  25256  dchrvmasumlem  25257  mudivsum  25264  mulogsumlem  25265  mulogsum  25266  mulog2sumlem1  25268  mulog2sumlem2  25269  mulog2sumlem3  25270  vmalogdivsum  25273  logsqvma  25276  selberglem1  25279  selberglem2  25280  selberg2lem  25284  selberg2  25285  selberg3lem1  25291  pntrsumo1  25299  pntrsumbnd  25300  selbergr  25302  selberg4r  25304  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntlemo  25341  ax5seglem6  25859  axlowdimlem16  25882  finsumvtxdg2ssteplem4  26500  dipcl  27695  indsumin  30212  esumcvg  30276  fsum2dsub  30813  reprsuc  30821  breprexplemc  30838  breprexp  30839  breprexpnat  30840  vtscl  30844  circlemeth  30846  hgt750lemd  30854  tgoldbachgtde  30866  subfacval2  31295  subfaclim  31296  fwddifnp1  32397  knoppndvlem11  32638  jm2.23  37880  fsumclf  40119  fsumsermpt  40129  sumnnodd  40180  dvnmul  40476  dvnprodlem1  40479  dvnprodlem2  40480  stoweidlem26  40561  dirkertrigeqlem2  40634  dirkeritg  40637  fourierdlem73  40714  fourierdlem83  40724  elaa2lem  40768  etransclem23  40792  etransclem27  40796  etransclem31  40800  etransclem33  40802  etransclem39  40808  etransclem46  40815  etransclem47  40816  etransclem48  40817  pwdif  41826  altgsumbcALT  42456  nn0sumshdiglemA  42738  amgmlemALT  42877
  Copyright terms: Public domain W3C validator