MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcllem 14252
Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcllem.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fsumcllem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
fsumcllem.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcllem.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fsumcllem.5 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
fsumcllem (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcllem
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
21sumeq1d 14221 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3 sum0 14241 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
42, 3syl6eq 2655 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
5 fsumcllem.5 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
65adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → 0 ∈ 𝑆)
74, 6eqeltrd 2683 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
8 fsumcllem.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
98adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10 fsumcllem.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1110adantlr 746 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12 fsumcllem.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1312adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
14 fsumcllem.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
1514adantlr 746 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
16 simpr 475 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
179, 11, 13, 15, 16fsumcl2lem 14251 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
187, 17pm2.61dane 2864 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wss 3535  c0 3869  (class class class)co 6523  Fincfn 7814  cc 9786  0cc0 9788   + caddc 9791  Σcsu 14206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207
This theorem is referenced by:  fsumcl  14253  fsumrecl  14254  fsumzcl  14255  fsumnn0cl  14256  fsumge0  14310  plymullem  23689  efnnfsumcl  24542  efchtdvds  24598  fsumrp0cl  28828  fsumcnsrcl  36554  aacllem  42315
  Copyright terms: Public domain W3C validator